Completando o quadrado de x^2-x+1, mostre que
integral0^1 / 2 d xx^2-x+1 d x=pi2 raiz3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que completar o quadrado da expressão e, em seguida, calcular a integral definida de de 0 a . Vamos precisar de conhecimentos de álgebra para completar o quadrado e de cálculo para resolver a integral.

Passo 2

Vamos começar completando o quadrado na expressão ax^2 + bx + c = a( x + b2a )^2 + ( c - b^24a ) . Completar o quadrado nos ajuda a reescrever a expressão de uma forma que facilita a integração.
A forma padrão de completar o quadrado para uma expressão quadrática x^2 - x + 1 = ( x - 12 )^2 + (1 - (-1)^24 times 1) = (x - 12 )^2 + 34 é:
No nosso caso, , e :

Passo 3

Agora que temos a expressão na forma completada do quadrado, podemos reescrever a integral:
integral0^1/2 dxx^2 - x + 1 = integral0^1/2 dx(x - 12)^2 + (raiz32)^2

Passo 4

A integral agora tem a forma h = 12, k = raiz32 , cuja antiderivada é 1k arctan( x - hk ) = 2raiz3 arctan( 2(x - 12)raiz3 ) .
Comparando com a nossa integral:
Então, a antiderivada é:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a integral0^1/2 dxx^2 - x + 1 = 2raiz3 [ arctan( 2(x - 12)raiz3 ) ]0^1/2 :
arctan( 2(12 - 12)raiz3 ) = arctan(0) = 0
Vamos calcular nos limites:
Para arctan( 2(0 - 12)raiz3 ) = arctan( -1raiz3 ) = -pi6 :
Para :

Passo 6

Substituindo os valores calculados:
2raiz3 ( 0 - (-pi6 ) ) = 2raiz3 times pi6 = pi3raiz3

Resposta

Portanto,
integral0^1 / 2 dxx^2 - x + 1 dx = pi3 raiz3

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