Completando o quadrado de
, mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que completar o quadrado da expressão
e, em seguida, calcular a integral definida de
de 0 a
. Vamos precisar de conhecimentos de álgebra para completar o quadrado e de cálculo para resolver a integral.
Passo 2
Vamos começar completando o quadrado na expressão
. Completar o quadrado nos ajuda a reescrever a expressão de uma forma que facilita a integração.
A forma padrão de completar o quadrado para uma expressão quadrática
é:
No nosso caso,
,
e
:
Passo 3
Agora que temos a expressão na forma completada do quadrado, podemos reescrever a integral:
Passo 4
A integral agora tem a forma
, cuja antiderivada é
.
Comparando com a nossa integral:
Então, a antiderivada é:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Vamos calcular nos limites:
Para
:
Para
:
Passo 6
Substituindo os valores calculados:
Resposta
Portanto,