Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty n!x^n1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Estamos lidando com séries de potências, que envolvem termos com . Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste do Limite da Razão), que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , se calcularmos o limite e:
  • Se , a série converge.
  • Se ou diverge, a série não converge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série, onde .

Passo 3

Vamos calcular an+1an = (n+1)!x^n+11 cdot 3 cdot 5 cdots(2(n+1)-1) times 1 cdot 3 cdot 5 cdots(2n-1)n!x^n :
an+1an = (n+1) cdot x cdot 12n + 1
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o limite quando L = limn to infty | (n+1) cdot x cdot 12n + 1 | = limn to infty | x cdot n+12n + 1 | tende ao infinito:
L = limn to infty | x cdot 1 + 1n2 + 1n | = | x2 |
Dividindo numerador e denominador por :

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, queremos que | x2 | < 1 implies |x| < 2 para a série convergir:
Isso nos dá o raio de convergência .

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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