Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
. Estamos lidando com séries de potências, que envolvem termos com
. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste do Limite da Razão), que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série
, se calcularmos o limite
e:
- Se
, a série converge. - Se
ou diverge, a série não converge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série, onde
.
Passo 3
Vamos calcular
an+1an = (n+1)!x^n+11 cdot 3 cdot 5 cdots(2(n+1)-1) times 1 cdot 3 cdot 5 cdots(2n-1)n!x^n :
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o limite quando
L = limn to infty | (n+1) cdot x cdot 12n + 1 | = limn to infty | x cdot n+12n + 1 | tende ao infinito:
Dividindo numerador e denominador por
:
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão, queremos que
| x2 | < 1 implies |x| < 2 para a série convergir:
Isso nos dá o raio de convergência
.
Resposta
O raio de convergência da série é
e o intervalo de convergência é
.
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