Encontre a relação entre a distância de queda e a velocidade de um corpo abandonado do repouso em queda livre e sujeito a resistência do ar proporcional: à velocidade

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a relação entre a distância de queda (s) e a velocidade (v) de um corpo que é largado do repouso em queda livre, levando em conta a resistência do ar que é proporcional à velocidade. Então, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica para resolver isso. Precisaremos entender as forças envolvidas e como elas afetam a velocidade e a posição do corpo durante a queda.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as forças que atuam no corpo. Temos duas forças principais:
  1. Peso (Força da gravidade): , onde é a massa e é a aceleração da gravidade.
  2. Resistência do ar: , onde é a constante de proporcionalidade e é a velocidade.

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Fresu
Então, temos:
m cdot dvdt = m cdot g - k cdot v

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para resolver a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo:
dvdt = g - km cdot v
Essa é uma equação diferencial linear que descreve como a velocidade varia com o tempo considerando a resistência do ar.

Passo 5

Para encontrar a relação entre a velocidade (v) e a distância (s), usamos a relação:
v = dsdt
Podemos reescrever a equação diferencial anterior em termos de s:
dvds cdot dsdt = g - km cdot v
Como v cdot dvds = g - km cdot v , substituímos:

Passo 6

Vamos separar as variáveis v cdot dv = ( g - km cdot v ) ds e ds = v cdot dvg - km cdot v :
Agora, isolamos :

Passo 7

Integrando ambos os lados para encontrar a relação entre s e v:
integral ds = integral vg - km cdot v dv
A integral do lado direito pode ser resolvida por substituição. Seja s = -mk ( v + mk g ) + C , então , o que leva a:
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Para determinar a constante C, consideramos que no momento inicial ( 0 = -mk ( 0 + mk g ) + C C = m^2 gk^2 quando ):

Passo 9

Substituindo C na equação de s:
s = -mk v - m^2 gk^2 + m^2 gk^2 s = -mk v + m^2 gk^2
Podemos rearranjar a equação para expressar s em função de v:
s = m^2 gk^2 - mk v

Resposta

A relação entre a distância de queda (s) e a velocidade (v) do corpo é:
s = m^2 gk^2 - mk v

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