Encontre a relação entre a distância de queda e a velocidade de um corpo abandonado do repouso em queda livre e sujeito a resistência do ar proporcional: à velocidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a relação entre a distância de queda (s) e a velocidade (v) de um corpo que é largado do repouso em queda livre, levando em conta a resistência do ar que é proporcional à velocidade. Então, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica para resolver isso. Precisaremos entender as forças envolvidas e como elas afetam a velocidade e a posição do corpo durante a queda.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as forças que atuam no corpo. Temos duas forças principais:
- Peso (Força da gravidade):
, onde é a massa e é a aceleração da gravidade. - Resistência do ar:
, onde é a constante de proporcionalidade e é a velocidade.
Passo 3
Aplicando a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Então, temos:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para resolver a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo:
Essa é uma equação diferencial linear que descreve como a velocidade varia com o tempo considerando a resistência do ar.
Passo 5
Para encontrar a relação entre a velocidade (v) e a distância (s), usamos a relação:
Podemos reescrever a equação diferencial anterior em termos de s:
Como
, substituímos:
Passo 6
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, isolamos
:
Passo 7
Integrando ambos os lados para encontrar a relação entre s e v:
A integral do lado direito pode ser resolvida por substituição. Seja
, então
, o que leva a:
Onde C é a constante de integração.
Passo 8
Para determinar a constante C, consideramos que no momento inicial (
quando
):
Passo 9
Substituindo C na equação de s:
Podemos rearranjar a equação para expressar s em função de v:
Resposta
A relação entre a distância de queda (s) e a velocidade (v) do corpo é: