Sabendo-se que a força que atua em uma partícula é o produto de uma função da posição e uma função da velocidade
, mostre que a equação diferencial do movimento pode ser resolvida por integração. A equação de movimento pode ser resolvida por simples integração se a força for o produto de uma função da posição por uma função do tempo? E se for o produto de uma função do tempo por uma função da velocidade?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma força que age sobre uma partícula, e essa força é o produto de uma função da posição (
) e uma função da velocidade (
), ou seja,
. Nosso objetivo é mostrar que a equação diferencial do movimento dessa partícula pode ser resolvida por integração. Além disso, vamos ver se é possível resolver a equação de movimento por integração simples quando a força é o produto de uma função da posição por uma função do tempo, ou de uma função do tempo por uma função da velocidade. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco de física básica sobre movimento e algumas técnicas de resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, segundo a segunda lei de Newton, a força resultante que atua em uma partícula é igual ao produto da massa (
) pela aceleração (
) dela:
Como aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:
No nosso caso, a força é dada por
, então:
Nossa missão é resolver essa equação diferencial para encontrar a velocidade
em função do tempo
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos tentar separar as variáveis
e
. A ideia é reescrever a equação de modo que todos os termos com
fiquem de um lado e todos os termos com
fiquem do outro. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Agora, rearranjamos para isolar
:
Nesse ponto, percebemos que
depende de
, que por sua vez pode depender do tempo
, já que
é a posição da partícula em função do tempo. Para progredir, precisaríamos expressar
em termos de
e integrar, mas isso pode ficar complicado se
não for uma função específica.
Porém, se assumirmos que a posição
pode ser expressa de uma maneira que permita a separação das variáveis, então a equação pode ser integrada.
Passo 4
Agora, vamos responder às questões adicionais:
a) Se a força for o produto de uma função da posição por uma função do tempo, ou seja,
, podemos escrever a equação de movimento como:
Para resolver por integração simples, precisaríamos separar as variáveis
e
, o que pode não ser direto, já que
depende de
através da velocidade. A menos que
e
sejam de formas que permitam essa separação facilmente, a integração simples pode não ser possível.
b) Se a força for o produto de uma função do tempo por uma função da velocidade, ou seja,
, então a equação de movimento fica:
Aqui, conseguimos separar as variáveis:
Agora, cada lado da igualdade depende apenas de uma variável, o que permite integrar ambos os lados de forma independente.
Resposta
Sim, a equação diferencial do movimento pode ser resolvida por integração quando a força é o produto de uma função da posição por uma função da velocidade. Além disso, a equação de movimento pode ser resolvida por simples integração se a força for o produto de uma função do tempo por uma função da velocidade, mas não quando a força for o produto de uma função da posição por uma função do tempo.