Uma partícula de massa m está inicialmente em repouso. Uma força constante F0 atua na partícula até o instante t=t0. A força então aumenta de valor linearmente com o tempo tal que depois de um intervalo adicional t0 a força vale 2 F0. Mostre que a distância total percorrida pela partícula no intervalo total de tempo 2 t0 é
136 F0 t0^2m

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa que começa parada. Uma força constante atua sobre ela durante um tempo . Depois desse tempo, a força aumenta de forma linear até alcançar no instante . Precisamos descobrir a distância total que a partícula percorre nesse intervalo de tempo total .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e leis de Newton, principalmente a relação entre força, massa e aceleração ( ), e as equações do movimento para calcular a distância percorrida.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o problema em duas partes:
  1. Primeira parte: de até , com força constante .
  2. Segunda parte: de até , onde a força aumenta linearmente de para .
Vamos calcular a distância percorrida em cada uma dessas partes separadamente e depois somar as duas para obter a distância total.

Passo 3

Primeira parte ( a1 = F0m ):
A força é constante, então a aceleração S1 = v0 t0 + 12 a1 t0^2 é dada por:
S1 = 12 cdot F0m cdot t0^2 = F0 t0^22m
Como a partícula parte do repouso, sua velocidade inicial .
A distância percorrida nesse intervalo de tempo pode ser calculada usando a equação do movimento:
Substituindo :

Passo 4

Segunda parte ( F(t) = F0 + k(t - t0) ):
Aqui, a força aumenta linearmente com o tempo. Isso significa que a força 2 F0 = F0 + k(2 t0 - t0) Rightarrow 2 F0 = F0 + k t0 Rightarrow k = F0t0 pode ser expressa como:
F(t) = F0 + F0t0(t - t0) = F0 (1 + t - t0t0) = F0 (tt0)
Onde a(t) = F(t)m = F0m cdot tt0 é a taxa de variação da força. Sabemos que no instante v1 = v0 + a1 t0 = 0 + F0m t0 = F0 t0m , a força é v(t) = v1 + integralt0^t a(tau) dtau = F0 t0m + integralt0^t F0m cdot taut0 dtau :
integralt0^t F0m t0 tau dtau = F0m t0 cdot tau^22 g|t0^t = F02 m t0 (t^2 - t0^2)
Então, a força durante a segunda parte fica:
v(t) = F0 t0m + F02 m t0 (t^2 - t0^2)
A aceleração S2 = integralt0^2 t0 v(t) dt = integralt0^2 t0 ( F0 t0m + F02 m t0 (t^2 - t0^2) ) dt nesse intervalo é:
S2 = F0 t0^2m + 7 F0 t0^26 m - F0 t0^22 m = (1 + 76 - 12) F0 t0^2m = (66 + 76 - 36) F0 t0^2m = 106 F0 t0^2m = 53 F0 t0^2m
Para encontrar a distância , vamos integrar a velocidade. Primeiro, encontramos a velocidade no início desse intervalo, que é a velocidade final da primeira parte.
A velocidade após a primeira parte:
Agora, para a segunda parte, a velocidade é:
Calculando a integral:
Então, a velocidade é:
Agora, para encontrar :
Vamos calcular cada termo da integral separadamente:
Somando tudo:

Resposta

A distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo 136 F0 t0^2m é

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