Uma partícula de massa está inicialmente em repouso. Uma força constante atua na partícula até o instante . A força então aumenta de valor linearmente com o tempo tal que depois de um intervalo adicional a força vale . Mostre que a distância total percorrida pela partícula no intervalo total de tempo é
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa que começa parada. Uma força constante atua sobre ela durante um tempo . Depois desse tempo, a força aumenta de forma linear até alcançar no instante . Precisamos descobrir a distância total que a partícula percorre nesse intervalo de tempo total .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e leis de Newton, principalmente a relação entre força, massa e aceleração (), e as equações do movimento para calcular a distância percorrida.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o problema em duas partes:
Primeira parte: de até , com força constante .
Segunda parte: de até , onde a força aumenta linearmente de para .
Vamos calcular a distância percorrida em cada uma dessas partes separadamente e depois somar as duas para obter a distância total.
Passo 3
Primeira parte ():
A força é constante, então a aceleração é dada por:
Como a partícula parte do repouso, sua velocidade inicial .
A distância percorrida nesse intervalo de tempo pode ser calculada usando a equação do movimento:
Substituindo :
Passo 4
Segunda parte ():
Aqui, a força aumenta linearmente com o tempo. Isso significa que a força pode ser expressa como:
Onde é a taxa de variação da força. Sabemos que no instante , a força é :
Então, a força durante a segunda parte fica:
A aceleração nesse intervalo é:
Para encontrar a distância , vamos integrar a velocidade. Primeiro, encontramos a velocidade no início desse intervalo, que é a velocidade final da primeira parte.
A velocidade após a primeira parte:
Agora, para a segunda parte, a velocidade é:
Calculando a integral:
Então, a velocidade é:
Agora, para encontrar :
Vamos calcular cada termo da integral separadamente:
Somando tudo:
Resposta
A distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo 136 F0 t0^2m é