Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries de potências e a série geométrica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que nos ajude a identificar uma série de potências. Podemos dividir o numerador pelo denominador:
Agora, a função está na forma .
Passo 3
Queremos expressar como uma série de potências. Para isso, vamos manipular a expressão de modo a usar a série geométrica, que é , válida para .
Vamos reescrever :
Agora, identificamos que .
Passo 4
Aplicando a série geométrica, temos:
Portanto:
Passo 5
Agora voltamos à expressão original de :
Podemos simplificar isso:
Passo 6
Para deixar a série mais limpa, podemos ajustar os índices. Note que quando :
Então, podemos reescrever a série começando de :
Passo 7
Finalmente, organizamos a série de potências para :
Passo 8
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência da série. Sabemos que a série geométrica converge quando , onde . Portanto: