Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x)=x-1x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries de potências e a série geométrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(x) = x - 1x + 2 = x + 2 - 3x + 2 = 1 - 3x + 2 de uma forma que nos ajude a identificar uma série de potências. Podemos dividir o numerador pelo denominador:
Agora, a função está na forma .

Passo 3

Queremos expressar 1x + 2 = 12 cdot 11 + x2 = 12 cdot 11 - (-x2) como uma série de potências. Para isso, vamos manipular a expressão de modo a usar a série geométrica, que é , válida para .
Vamos reescrever :
Agora, identificamos que .

Passo 4

Aplicando a série geométrica, temos:
11 - (-x2) = sumn=0^infty (-x2)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^n2^n
Portanto:
1x + 2 = 12 sumn=0^infty (-1)^n x^n2^n = sumn=0^infty (-1)^n x^n2^n+1

Passo 5

Agora voltamos à expressão original de f(x) = 1 - 3 cdot 1x + 2 = 1 - 3 sumn=0^infty (-1)^n x^n2^n+1 :
f(x) = 1 - sumn=0^infty 3(-1)^n x^n2^n+1 = 1 + sumn=0^infty -3(-1)^n x^n 2^n+1
Podemos simplificar isso:

Passo 6

Para deixar a série mais limpa, podemos ajustar os índices. Note que quando -3(-1)^0 x^02^0+1 = -32 :
f(x) = 1 - 32 + sumn=1^infty 3(-1)^n x^n2^n+1 = -12 + sumn=1^infty 3(-1)^n x^n2^n+1
Então, podemos reescrever a série começando de :

Passo 7

Finalmente, organizamos a série de potências para f(x) = sumn=0^infty 3(-1)^n x^n2^n+1 :

Passo 8

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência da série. Sabemos que a série geométrica converge quando | -x2 | < 1 implies | x2 | < 1 implies |x| < 2 , onde . Portanto:

Resposta

A representação em série de potências para f(x) = sumn=0^infty 3(-1)^n x^n2^n+1 é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados