Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries de potências e a série geométrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que nos ajude a identificar uma série de potências. Podemos dividir o numerador pelo denominador:
Agora, a função está na forma .

Passo 3

Queremos expressar como uma série de potências. Para isso, vamos manipular a expressão de modo a usar a série geométrica, que é , válida para .
Vamos reescrever :
Agora, identificamos que .

Passo 4

Aplicando a série geométrica, temos:
Portanto:

Passo 5

Agora voltamos à expressão original de :
Podemos simplificar isso:

Passo 6

Para deixar a série mais limpa, podemos ajustar os índices. Note que quando :
Então, podemos reescrever a série começando de :

Passo 7

Finalmente, organizamos a série de potências para :

Passo 8

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência da série. Sabemos que a série geométrica converge quando , onde . Portanto:

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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