Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge. Vamos ver como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série da forma , se calcularmos o limite:
e se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge. Se for igual a 1, o teste não conclui nada.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, temos:
Então, o termo seguinte é:

Passo 4

Vamos montar a razão :
Esse simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Simplificando :
Então:
Portanto, o limite fica:

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
Isso significa que a distância entre e 1 deve ser menor que 1.

Passo 7

A desigualdade pode ser resolvida da seguinte maneira:
Somando 1 em todos os lados:

Resposta

O raio de convergência da série é 1.

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