Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge. Vamos ver como aplicar esse teste passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série da forma
, se calcularmos o limite:
e se esse limite
L for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge. Se for igual a 1, o teste não conclui nada.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, temos:
Então, o termo seguinte é:
Passo 4
Vamos montar a razão
an+1an :
Esse simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
n tende ao infinito:
Simplificando
n+1n :
Então:
Portanto, o limite fica:
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
Isso significa que a distância entre
x e 1 deve ser menor que 1.
Passo 7
A desigualdade
|x - 1| < 1 pode ser resolvida da seguinte maneira:
Somando 1 em todos os lados:
Resposta
O raio de convergência da série é 1.