Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):
sumn=0^infty raizn(x-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série
sumn=0^infty raizn(x-1)^n
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge. Vamos ver como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série da forma sum an, se calcularmos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
e se esse limite L for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge. Se for igual a 1, o teste não conclui nada.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, temos:
an = raizn(x-1)^n
Então, o termo seguinte é:
an+1 = raizn+1(x-1)^n+1

Passo 4

Vamos montar a razão an+1an:
an+1an = raizn+1(x-1)^n+1raizn(x-1)^n = raizn+1raizn cdot (x-1)
Esse simplifica para:
an+1an = raizn+1n cdot (x-1)

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | raizn+1n cdot (x-1) |
Simplificando n+1n:
n+1n = 1 + 1n 1 quando n infty
Então:
raizn+1n raiz1 = 1
Portanto, o limite fica:
L = |x - 1|

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
|x - 1| < 1
Isso significa que a distância entre x e 1 deve ser menor que 1.

Passo 7

A desigualdade |x - 1| < 1 pode ser resolvida da seguinte maneira:
-1 < x - 1 < 1
Somando 1 em todos os lados:
0 < x < 2

Resposta

O raio de convergência da série é 1.

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