Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x) = (x^2 + x) / (1 - x)^3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e manipulação de séries conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação de séries conhecidas. Observamos que pode ser separada em duas partes:

Passo 3

Sabemos que a série de potências para é:
onde é o coeficiente binomial que pode ser calculado como .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar cada termo da série por e respectivamente:

Passo 5

Podemos ajustar os índices das somas para que ambas comecem em :

Passo 6

Agora, somamos as duas séries resultantes:
Podemos combinar os índices para ter uma única série:
Simplificando os coeficientes:

Passo 7

Portanto, a série de potências para fica:

Passo 8

Conhecemos a série , que converge para . Portanto, o intervalo de convergência da série encontrada para é .

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
E o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Para as funções dos exercícios 18. a 22., determine e classifique os pontos críticos, se existirem.
f(x, y) = x * y^2 + 3 * y^2 - 3 * x * y + 2 * x - 4 * y + 1
Calcule a menor distância entre a reta v = u - 2 e a parábola v = u^2 + 1.
Obs.: A distância de um ponto (x, y) a uma reta a u + b v + c = 0 é dada por
|a x + b y + c| / raiz(a^2 + b^2)
Use séries de potência para aproximar a integral definida com precisão indicada. integral0^0,5 x^2 e^-x^2 d x (erro menor que 0,001 ).
O fato de sumn=0^+infty cn 4^n ser convergente implica que as séries a seguir convergem? sumn=1^+infty cn(-4)^n.