O fato de sumn=0^+infty cn 4^n ser convergente implica que as séries a seguir convergem? sumn=1^+infty cn(-4)^n.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que o enunciado está dizendo. A gente tem uma série infinita que está convergindo. O conteúdo aqui envolve séries numéricas, especificamente séries de potências. Para resolver isso, a gente vai precisar entender sobre convergência de séries e como o sinal dos termos pode influenciar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser convergente. Uma série converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito conforme aumentamos o número de termos. No caso das séries de potências, como , a convergência depende do valor de e do raio de convergência da série.

Passo 3

Sabemos que a série converge. Isso nos diz que o valor está dentro do raio de convergência dessa série. A propriedade importante das séries de potências é que a convergência é simétrica em torno do centro da série. Ou seja, se a série converge para , ela também converge para , porque o raio de convergência abrange ambos os lados.

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso à série que queremos analisar: . Aqui, estamos apenas mudando o sinal de 4 para -4. Pela simetria do raio de convergência que mencionamos, se a série converge para 4, ela também deve convergir para -4, já que ambos os pontos estão dentro do mesmo raio.

Resposta

Sim, a série também converge.

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