O fato de
ser convergente implica que as séries a seguir convergem?
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Passo 1
Beleza, vamos analisar o que o enunciado está dizendo. A gente tem uma série infinita
que está convergindo. O conteúdo aqui envolve séries numéricas, especificamente séries de potências. Para resolver isso, a gente vai precisar entender sobre convergência de séries e como o sinal dos termos pode influenciar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser convergente. Uma série
converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito conforme aumentamos o número de termos. No caso das séries de potências, como
, a convergência depende do valor de
e do raio de convergência da série.
Passo 3
Sabemos que a série
converge. Isso nos diz que o valor
está dentro do raio de convergência dessa série. A propriedade importante das séries de potências é que a convergência é simétrica em torno do centro da série. Ou seja, se a série converge para
, ela também converge para
, porque o raio de convergência abrange ambos os lados.
Passo 4
Agora, vamos aplicar isso à série que queremos analisar:
. Aqui, estamos apenas mudando o sinal de 4 para -4. Pela simetria do raio de convergência que mencionamos, se a série converge para 4, ela também deve convergir para -4, já que ambos os pontos estão dentro do mesmo raio.
Resposta
Sim, a série
também converge.
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