Use séries de potência para aproximar a integral definida com precisão indicada.
(erro menor que 0,001 ).
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
usando séries de potência. A matéria envolvida aqui é cálculo integral e séries de potência. Para isso, vamos precisar expandir a função
em uma série de potência e depois integrar termo a termo, garantindo que o erro seja menor que 0,001.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a expansão em série de potência para
. Sabemos que:
Substituindo
por
, temos:
Passo 3
Agora, multiplicamos essa série por
:
Passo 4
Vamos integrar termo a termo a função dentro da série:
A integral de
de 0 a 0,5 é:
Passo 5
Substituindo na série:
Passo 6
Para garantir que o erro seja menor que 0,001, vamos calcular os termos da série até que o próximo termo seja menor que 0,001. Vamos calcular alguns termos:
Para
:
Para
:
Para
:
O terceiro termo já é menor que 0,001, então podemos parar aqui.
Passo 7
Somando os termos que contribuem para a precisão desejada:
O próximo termo é menor que 0,001, então nosso valor aproximado é 0,035416.
Resposta
A aproximação da integral
com erro menor que 0,001 é aproximadamente 0,0354.
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