Use séries de potência para aproximar a integral definida com precisão indicada. integral0^0,5 x^2 e^-x^2 d x (erro menor que 0,001 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando séries de potência. A matéria envolvida aqui é cálculo integral e séries de potência. Para isso, vamos precisar expandir a função em uma série de potência e depois integrar termo a termo, garantindo que o erro seja menor que 0,001.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a expansão em série de potência para e^x = sumn=0^infty x^nn! . Sabemos que:
e^-x^2 = sumn=0^infty (-x^2)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n x^2nn!
Substituindo por , temos:

Passo 3

Agora, multiplicamos essa série por x^2 e^-x^2 = x^2 sumn=0^infty (-1)^n x^2nn! = sumn=0^infty (-1)^n x^2n + 2n! :

Passo 4

Vamos integrar termo a termo a função dentro da série:
integral0^0,5 x^2 e^-x^2 dx = sumn=0^infty (-1)^nn! integral0^0,5 x^2n + 2 dx
A integral de integral0^0,5 x^k dx = 0,5^k+1k+1 de 0 a 0,5 é:

Passo 5

Substituindo na série:
integral0^0,5 x^2 e^-x^2 dx = sumn=0^infty (-1)^n cdot 0,5^2n + 3n!(2n + 3)

Passo 6

Para garantir que o erro seja menor que 0,001, vamos calcular os termos da série até que o próximo termo seja menor que 0,001. Vamos calcular alguns termos:
Para (-1)^0 cdot 0,5^30!(3) = 1 cdot 0,1251 cdot 3 = 0,041666 :
(-1)^1 cdot 0,5^51!(5) = -1 cdot 0,031251 cdot 5 = -0,00625
Para (-1)^2 cdot 0,5^72!(7) = 1 cdot 0,00781252 cdot 7 approx 0,000558 :
Para :
O terceiro termo já é menor que 0,001, então podemos parar aqui.

Passo 7

Somando os termos que contribuem para a precisão desejada:
0,041666 - 0,00625 = 0,035416
O próximo termo é menor que 0,001, então nosso valor aproximado é 0,035416.

Resposta

A aproximação da integral com erro menor que 0,001 é aproximadamente 0,0354.

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