Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
f(x) = e^(2 x), c = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Taylor ou Maclaurin da função em torno do ponto . Para isso, vamos precisar saber como expandir funções exponenciais em séries e entender para quais valores de essa série vai funcionar direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. Ela é um tipo especial de série de Taylor que expande uma função em torno de . A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função é:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em 0.

Passo 3

Vamos aplicar isso para . Primeiro, precisamos achar as derivadas de em relação a e avaliá-las em 0.
A função tem uma propriedade legal: todas as suas derivadas são iguais a ela mesma multiplicadas por 2 cada vez que derivamos.
Então:
E assim por diante.
Avaliar em :
Em geral, .

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da série de Maclaurin:
Essa é a série que representa em torno de 0.

Passo 5

Por último, precisamos determinar para quais valores de essa série converge, ou seja, onde ela funciona corretamente.
Sabemos que a série de Maclaurin para converge para todos os números reais , independente do valor de . No nosso caso, , então a série converge para todo real.

Resposta

A série de Maclaurin para em torno de é:
E essa série converge para todo número real .

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