Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Taylor ou Maclaurin da função
em torno do ponto
. Para isso, vamos precisar saber como expandir funções exponenciais em séries e entender para quais valores de
essa série vai funcionar direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. Ela é um tipo especial de série de Taylor que expande uma função em torno de
. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função
é:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em 0.
Passo 3
Vamos aplicar isso para
. Primeiro, precisamos achar as derivadas de
em relação a
e avaliá-las em 0.
A função
tem uma propriedade legal: todas as suas derivadas são iguais a ela mesma multiplicadas por 2 cada vez que derivamos.
Então:
E assim por diante.
Avaliar em
:
Em geral,
.
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da série de Maclaurin:
Essa é a série que representa
em torno de 0.
Passo 5
Por último, precisamos determinar para quais valores de
essa série converge, ou seja, onde ela funciona corretamente.
Sabemos que a série de Maclaurin para
converge para todos os números reais
, independente do valor de
. No nosso caso,
, então a série converge para todo
real.
Resposta
A série de Maclaurin para
em torno de
é:
E essa série converge para todo número real
.
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é condicionalmente convergente.
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.
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.
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Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
3. .
3.