Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
10. ( ) A série numérica alternada
é absolutamente convergente para
.
10. ( ) A série numérica alternada
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma série numérica alternada, que é uma soma infinita que alterna sinais positivos e negativos. A série em questão é:
A pergunta é: Essa série é absolutamente convergente para
? Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos importantes da matemática: convergência absoluta e séries alternadas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre convergência absoluta. Uma série é dita absolutamente convergente se a soma dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se temos uma série como:
Ela é absolutamente convergente se:
também converge.
No nosso caso, os termos da série são
. O valor absoluto desses termos é
. Então, para verificar a convergência absoluta, vamos analisar a série:
Passo 3
Agora, vamos usar o conceito de série p. Uma série p é uma série da forma:
Sabemos que uma série p converge se
e diverge se
. No nosso caso, estamos considerando
. Portanto:
Isso significa que a série dos valores absolutos da nossa série original também converge.
Passo 4
Já que a série dos valores absolutos converge, podemos concluir que a série original:
é absolutamente convergente para
.
Além disso, sabemos que séries alternadas podem convergir mesmo quando a série dos valores absolutos não converge, mas como nesse caso a série dos valores absolutos já converge, a série alternada também converge de forma mais forte, ou seja, absolutamente.
Resposta
Verdadeiro. A série
é absolutamente convergente para
.
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dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
.
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é condicionalmente convergente.
9. ( ) A série numérica alternada
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3. .
3.
Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
.