Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
10. ( ) A série numérica alternada sumn=1^infty(-1)^n+1 1n^p é absolutamente convergente para p>1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma série numérica alternada, que é uma soma infinita que alterna sinais positivos e negativos. A série em questão é:
sumn=1^infty (-1)^n+1 1n^p
A pergunta é: Essa série é absolutamente convergente para ? Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos importantes da matemática: convergência absoluta e séries alternadas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre convergência absoluta. Uma série é dita absolutamente convergente se a soma dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se temos uma série como:
sumn=1^infty an
Ela é absolutamente convergente se:
sumn=1^infty |an|
também converge.
No nosso caso, os termos da série são sumn=1^infty 1n^p . O valor absoluto desses termos é . Então, para verificar a convergência absoluta, vamos analisar a série:

Passo 3

Agora, vamos usar o conceito de série p. Uma série p é uma série da forma:
sumn=1^infty 1n^p
Sabemos que uma série p converge se sumn=1^infty 1n^p conver>= e diverge se . No nosso caso, estamos considerando . Portanto:
Isso significa que a série dos valores absolutos da nossa série original também converge.

Passo 4

Já que a série dos valores absolutos converge, podemos concluir que a série original:
sumn=1^infty (-1)^n+1 1n^p
é absolutamente convergente para .
Além disso, sabemos que séries alternadas podem convergir mesmo quando a série dos valores absolutos não converge, mas como nesse caso a série dos valores absolutos já converge, a série alternada também converge de forma mais forte, ou seja, absolutamente.

Resposta

Verdadeiro. A série é absolutamente convergente para .

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