Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
3. sumn=1^infty a^nn!, a neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a convergência da série numérica , onde . O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries infinitas e, mais especificamente, o Teste da Razão para determinar se a série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série infinita. É a soma de infinitos termos de uma sequência. Para saber se essa soma tem um valor finito (converge) ou não (diverge), usamos testes específicos.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que é muito útil quando os termos da série envolvem fatoriais ou potências. Esse teste diz que se o limite do quociente entre o termo seguinte e o termo atual for menor que 1, a série converge.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão na nossa série:
L = limn to infty | a^n+1(n+1)! div a^nn! | = limn to infty | a^n+1 cdot n!a^n cdot (n+1)! |

Passo 5

Simplificando a expressão dentro do limite:
L = limn to infty | a cdot n!(n+1) cdot n! | = limn to infty | an+1 |

Passo 6

Agora, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1 | = 0

Passo 7

Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de .

Resposta

A série converge para todo valor de .

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f(x) = e^(2 x), c = 0.
Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
f(x) = sen(x)/x, c = 0.
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