Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
3. .
Passo 1
Beleza, vamos analisar a convergência da série numérica , onde . O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries infinitas e, mais especificamente, o Teste da Razão para determinar se a série converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série infinita. É a soma de infinitos termos de uma sequência. Para saber se essa soma tem um valor finito (converge) ou não (diverge), usamos testes específicos.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão, que é muito útil quando os termos da série envolvem fatoriais ou potências. Esse teste diz que se o limite do quociente entre o termo seguinte e o termo atual for menor que 1, a série converge.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão na nossa série:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro do limite:
L = limn to infty | a cdot n!(n+1) cdot n! | = limn to infty | an+1 |
Passo 6
Agora, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1 | = 0
Passo 7
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de .