Seja f: (0, infinito) -> R dada por:
f(x) = x^3 ln(x) - x^3 / 3
Encontrar os valores de máximos e mínimos locais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida para todos os números positivos:
O objetivo aqui é encontrar onde essa função atinge seus valores máximos e mínimos locais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar esses pontos de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está crescendo ou diminuindo. Vamos derivar cada termo separadamente.
A derivada de usa a regra do produto:
A derivada de é:
Então, juntando tudo, a derivada da função é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos), vamos igualar a derivada a zero:
Como nunca é zero para , temos que:
Resolvendo para :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Para determinar se esse ponto é um máximo ou um mínimo, vamos usar a segunda derivada. Vamos calcular .
A primeira derivada é:
Derivando novamente:

Passo 5

Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico :
Como , isso indica que a função tem um mínimo local em .

Resposta

A função tem um mínimo local em .

Exercícios relacionados

Encontre a solução da EDO y' = -x/y e determine o campo de direções dela (Utilize algum software)
Verifique se wxy = wyx para w = e^x + x ln(y) + y ln(x).
Seja f(x, y)=(x-y)/(x+y). Determine as direções de u e os valores de D_u f(-1/2, 3/2) para os quais: (b) D_u f(-1/2, 3/2) = 0.
Uma equipe de pesquisadores deseja estudar as condições de vida dos habitantes dos 15000 domicílios de uma cidade-dormitório. Devido a dificuldade de pesquisar todos os domicílios, a equipe optou por selecionar aleatoriamente 36 domicílios. Uma das variáveis de interesse, no estudo em questão, era o número de pessoas que residem em cada domicílio. Para os domicílios selecionados, obteve-se as seguintes informações sobre o número de residentes em cada domicílio:
5 6 3 3 2 3 3 3 4
4 3 2 7 4 3 4 2 1
5 4 4 3 3 4 3 3 1
2 4 3 4 2 4 5 3 5
b) Qual o estimador utilizado e sua distribuição de amostragem ? É necessário que a variável número de residentes em cada domicílio tenha distribuição normal? Justifique sua resposta.