Encontre a solução da equação diferencial não homogênea utilizando o método dos coeficientes a determinar. y′′−y=x+1
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - y = x + 1 $. Essa questão faz parte das equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função conhecida, como um polinômio, uma exponencial, ou uma combinação delas.
Passo 2
Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial homogênea associada, que é $ y’’ - y = 0 $. Resolver a equação homogênea nos dá a solução geral complementar, que é parte da solução total.
Para resolver $ y’’ - y = 0 $, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação:
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, temos que $ r^2 - 1 = 0 $, ou seja, $ r = \pm 1 $.
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação não homogênea $ y’’ - y = x + 1 $. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, propomos que a solução particular seja também um polinômio de primeiro grau:
onde $ A $ e $ B $ são coeficientes que precisamos determinar.
Calculando as derivadas:
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para o termo com $ x $:
Para o termo constante:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’’ - y = x + 1 $ é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.