Encontre a solução da Equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada:
Passo 1
Vamos entender o que temos que fazer aqui. O exercício nos pede para resolver uma equação diferencial, que é uma equação que envolve uma função e suas derivadas. No caso, a equação que temos é
e temos uma condição inicial, que é
. Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis, que é super comum em equações desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis. Isso significa que queremos deixar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro. Podemos fazer isso multiplicando ambos os lados da equação por
e, então, multiplicando ambos os lados por
:
Agora a equação está separada!
Passo 3
Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo, onde está
, e a integral do lado direito, onde está
, ficam assim:
Passo 4
Vamos calcular essas integrais. A integral de
é:
E a integral de
é:
Como estamos lidando com uma equação, podemos reunir as constantes de integração em uma só constante,
. Assim, temos:
Passo 5
Agora vamos multiplicar tudo por 2 para simplificar:
Passo 6
Escolhemos a constante
mais tarde usando a condição inicial. Para fazer isso, vamos utilizar a condição inicial
. Substituindo
e
na nossa equação:
Isso nos dá:
Portanto,
, ou seja,
.
Passo 7
Agora, voltando para a nossa equação:
Passo 8
Para encontrar
, vamos tirar a raiz quadrada dos dois lados. Mas lembre-se que, como temos a condição
, devemos considerar a parte negativa da raiz:
Resposta
Então, a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial dada é:
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.