Encontre a solução da Equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada: d yd x=xy, y(0)=-3

Passo 1

Vamos entender o que temos que fazer aqui. O exercício nos pede para resolver uma equação diferencial, que é uma equação que envolve uma função e suas derivadas. No caso, a equação que temos é dydx = xy e temos uma condição inicial, que é y(0) = -3. Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis, que é super comum em equações desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis. Isso significa que queremos deixar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro. Podemos fazer isso multiplicando ambos os lados da equação por y e, então, multiplicando ambos os lados por dx:
y , dy = x , dx
Agora a equação está separada!

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo, onde está y, e a integral do lado direito, onde está x, ficam assim:
integral y , dy = integral x , dx

Passo 4

Vamos calcular essas integrais. A integral de y , dy é:
y^22 + C1
E a integral de x , dx é:
x^22 + C2
Como estamos lidando com uma equação, podemos reunir as constantes de integração em uma só constante, C. Assim, temos:
y^22 = x^22 + C

Passo 5

Agora vamos multiplicar tudo por 2 para simplificar:
y^2 = x^2 + 2C

Passo 6

Escolhemos a constante C mais tarde usando a condição inicial. Para fazer isso, vamos utilizar a condição inicial y(0) = -3. Substituindo x = 0 e y = -3 na nossa equação:
(-3)^2 = (0)^2 + 2C
Isso nos dá:
9 = 0 + 2C
Portanto, 2C = 9, ou seja, C = 92.

Passo 7

Agora, voltando para a nossa equação:
y^2 = x^2 + 9

Passo 8

Para encontrar y, vamos tirar a raiz quadrada dos dois lados. Mas lembre-se que, como temos a condição y(0) = -3, devemos considerar a parte negativa da raiz:
y = -raizx^2 + 9

Resposta

Então, a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial dada é:
y = -raizx^2 + 9

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