Encontre uma equação da curva que passe pelo ponto ( 0,1 ) e cuja inclinação em seja .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma equação de uma curva que passe pelo ponto e cuja inclinação em um ponto qualquer da curva seja dada pela expressão . Esse tipo de problema envolve derivadas, já que a inclinação de uma curva em um ponto é o que chamamos de derivada da função nesse ponto. Vamos usar o cálculo diferencial para resolver isso.

Passo 2

A inclinação da curva, que é a derivada da função , é dada por . Esse é um caso de Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo separável. O objetivo aqui é separar as variáveis para poder resolver a equação.
Podemos reescrever a expressão da inclinação assim:
O próximo passo é separar as variáveis. Para isso, vamos dividir os dois lados por e multiplicar por :
Agora temos a variável de um lado e a variável do outro. Vamos integrar ambos os lados.

Passo 3

Integrando o lado esquerdo, temos:
E integrando o lado direito, o resultado é:
Então, escrevendo os resultados das integrais temos:
onde é uma constante de integração. Agora, vamos eliminar o logaritmo exponentiando os dois lados:
Podemos simplificar isso, já que é uma constante positiva que podemos chamar de . Assim, temos:
Como estamos procurando uma função , podemos escrever:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de . Lembrando que a curva passa pelo ponto , vamos substituir e na equação:
Isso nos dá que . Portanto, a equação da curva que procuramos é:

Resposta

A equação da curva que passa pelo ponto e cuja inclinação em é é:

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a)
b)
c)
d)
e)
Considere que um recipiente a contém 50 litros de um certo gás exercendo a pressão de 1 atm e responda:
a) Se essa mesma massa de gás for transferida para um recipiente com capacidade para 80 litros, mantendo-se a temperatura constante, o que você espera verificar quanto a pressão nesse caso (aumentará, diminuirá ou permanecerá constante)? Porquê?
b) Qual será o valor da pressão exercida por esta mesma massa de gás a em um recipiente com capacidade para 80 litros?