Encontre uma equação da curva que passe pelo ponto ( 0,1 ) e cuja inclinação em
seja
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma equação de uma curva que passe pelo ponto
e cuja inclinação em um ponto qualquer
da curva seja dada pela expressão
. Esse tipo de problema envolve derivadas, já que a inclinação de uma curva em um ponto é o que chamamos de derivada da função nesse ponto. Vamos usar o cálculo diferencial para resolver isso.
Passo 2
A inclinação da curva, que é a derivada da função
, é dada por
. Esse é um caso de Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo separável. O objetivo aqui é separar as variáveis para poder resolver a equação.
Podemos reescrever a expressão da inclinação assim:
O próximo passo é separar as variáveis. Para isso, vamos dividir os dois lados por
e multiplicar por
:
Agora temos a variável
de um lado e a variável
do outro. Vamos integrar ambos os lados.
Passo 3
Integrando o lado esquerdo, temos:
E integrando o lado direito, o resultado é:
Então, escrevendo os resultados das integrais temos:
onde
é uma constante de integração. Agora, vamos eliminar o logaritmo exponentiando os dois lados:
Podemos simplificar isso, já que
é uma constante positiva que podemos chamar de
. Assim, temos:
Como estamos procurando uma função
, podemos escrever:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Lembrando que a curva passa pelo ponto
, vamos substituir
e
na equação:
Isso nos dá que
. Portanto, a equação da curva que procuramos é:
Resposta
A equação da curva que passa pelo ponto
e cuja inclinação em
é
é: