Encontre uma equação da curva que passe pelo ponto ( 0,1 ) e cuja inclinação em (x, y) seja x y.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma equação de uma curva que passe pelo ponto (0, 1) e cuja inclinação em um ponto qualquer (x, y) da curva seja dada pela expressão x cdot y. Esse tipo de problema envolve derivadas, já que a inclinação de uma curva em um ponto é o que chamamos de derivada da função nesse ponto. Vamos usar o cálculo diferencial para resolver isso.

Passo 2

A inclinação da curva, que é a derivada da função y(x), é dada por y' = x cdot y. Esse é um caso de Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo separável. O objetivo aqui é separar as variáveis para poder resolver a equação.
Podemos reescrever a expressão da inclinação assim:
dydx = x cdot y
O próximo passo é separar as variáveis. Para isso, vamos dividir os dois lados por y e multiplicar por dx:
dyy = x , dx
Agora temos a variável y de um lado e a variável x do outro. Vamos integrar ambos os lados.

Passo 3

Integrando o lado esquerdo, temos:
integral dyy = ln |y| + C1
E integrando o lado direito, o resultado é:
integral x , dx = x^22 + C2
Então, escrevendo os resultados das integrais temos:
ln |y| = x^22 + C
onde C = C2 - C1 é uma constante de integração. Agora, vamos eliminar o logaritmo exponentiando os dois lados:
|y| = e^x^22 + C
Podemos simplificar isso, já que e^C é uma constante positiva que podemos chamar de k. Assim, temos:
|y| = k cdot e^x^22
Como estamos procurando uma função y, podemos escrever:
y = k cdot e^x^22

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de k. Lembrando que a curva passa pelo ponto (0, 1), vamos substituir x = 0 e y = 1 na equação:
1 = k cdot e^0^22 = k cdot e^0 = k
Isso nos dá que k = 1. Portanto, a equação da curva que procuramos é:
y = e^x^22

Resposta

A equação da curva que passa pelo ponto (0, 1) e cuja inclinação em (x, y) é x cdot y é:
y = e^x^22

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