Encontre a solução da Equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada:
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para resolver uma equação diferencial que é dada por
, com a condição inicial de que
. Esse tipo de equação diferencial envolve funções e suas derivadas, e precisamos encontrar uma função
que satisfaça essa equação e a condição inicial.
Para resolver isso, vamos analisar a equação. A variável
depende da variável
, e
é a derivada de
em relação a
. Então, vamos usar um método de separação de variáveis, que é uma técnica comum para resolver equações desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. Reescrevendo a equação podemos passar
para o lado esquerdo e reescrever a equação assim:
Agora, temos as variáveis separadas. O lado esquerdo depende só de
e o lado direito só de
. Agora precisamos integrar ambos os lados.
Passo 3
Vamos integrar o lado esquerdo:
E agora o lado direito:
Para integrar
, usamos integração por partes. Vamos definir
e
. Assim,
e
. Usamos a fórmula da integração por partes, que é
:
Agora, juntando os resultados das integrações, temos:
Passo 4
Agora, precisamos aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituímos
na equação:
Então, nossa equação fica assim:
Resposta
Essa é a solução geral da equação diferencial dada. Se precisar de valores específicos para algum
, basta substituir na equação, mas a solução é: