Encontre a solução da Equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada:

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para resolver uma equação diferencial que é dada por , com a condição inicial de que . Esse tipo de equação diferencial envolve funções e suas derivadas, e precisamos encontrar uma função que satisfaça essa equação e a condição inicial.
Para resolver isso, vamos analisar a equação. A variável depende da variável , e é a derivada de em relação a . Então, vamos usar um método de separação de variáveis, que é uma técnica comum para resolver equações desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Reescrevendo a equação podemos passar para o lado esquerdo e reescrever a equação assim:
Agora, temos as variáveis separadas. O lado esquerdo depende só de e o lado direito só de . Agora precisamos integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos integrar o lado esquerdo:
E agora o lado direito:
Para integrar , usamos integração por partes. Vamos definir e . Assim, e . Usamos a fórmula da integração por partes, que é :
Agora, juntando os resultados das integrações, temos:

Passo 4

Agora, precisamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante . Substituímos na equação:
Então, nossa equação fica assim:

Resposta

Essa é a solução geral da equação diferencial dada. Se precisar de valores específicos para algum , basta substituir na equação, mas a solução é:

Exercícios relacionados

Determine a energia utilizada para deslocar uma carga de entre os pontos e , em coordenadas cartesianas, sabendo-se da existência de um campo elétrico produzido por uma superfície infinita de carga, localizada no plano , e que possui uma densidade superficial de carga de .
(f -0 pontos) Após a colisão, o poste e o corredor param em relação ao celeiro. Do ponto de vista do amigo, o poste de 20 m agora está dentro de um celeiro de 15 m , já que a porta do celeiro foi fechada antes do poste parar. Como isso é possível? Alternativamente, do ponto de vista do corredor, a colisão deveria ter parado o poste antes que a porta se fechasse, então a porta não poderia ser fechada de forma alguma. A porta estava ou não fechada com o poste dentro? (Essa questão é muito difícil, não vale ponto. Mas quero ver o seu raciocínio. Dica: nós só trabalhamos com um ponto até agora, a barra é um corpo extenso. Quando a parte da frente pára, a de trás pára junto?)
Resolva a equação diferencial dada
Encontre a solução da Equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada: