Encontre a solução da Equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada: y^prime=x y sen xy+1, y(0)=1

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para resolver uma equação diferencial que é dada por y' = xy sin xy+1, com a condição inicial de que y(0) = 1. Esse tipo de equação diferencial envolve funções e suas derivadas, e precisamos encontrar uma função y(x) que satisfaça essa equação e a condição inicial.
Para resolver isso, vamos analisar a equação. A variável y depende da variável x, e y' é a derivada de y em relação a x. Então, vamos usar um método de separação de variáveis, que é uma técnica comum para resolver equações desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Reescrevendo a equação podemos passar y+1 para o lado esquerdo e reescrever a equação assim:
y+1y dy = x sin x , dx
Agora, temos as variáveis separadas. O lado esquerdo depende só de y e o lado direito só de x. Agora precisamos integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos integrar o lado esquerdo:
integral y+1y dy = integral (1 + 1y) dy = integral dy + integral 1y dy = y + ln |y| + C1
E agora o lado direito:
integral x sin x , dx
Para integrar x sin x, usamos integração por partes. Vamos definir u = x e dv = sin x , dx. Assim, du = dx e v = -cos x. Usamos a fórmula da integração por partes, que é integral u , dv = uv - integral v , du:
integral x sin x , dx = -x cos x - integral -cos x , dx = -x cos x + sin x + C2
Agora, juntando os resultados das integrações, temos:
y + ln |y| = -x cos x + sin x + C

Passo 4

Agora, precisamos aplicar a condição inicial y(0) = 1 para encontrar a constante C. Substituímos x = 0 na equação:
1 + ln |1| = -0 cdot cos(0) + sin(0) + C
1 + 0 = 0 + 0 + C implies C = 1
Então, nossa equação fica assim:
y + ln |y| = -x cos x + sin x + 1

Resposta

Essa é a solução geral da equação diferencial dada. Se precisar de valores específicos para algum x, basta substituir na equação, mas a solução é:
y + ln |y| = -x cos x + sin x + 1

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