Resolva a equação diferencial dada

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que resolver a equação diferencial . A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais, que é uma forma de estudar como uma quantidade muda em relação a outra. Para resolver essa equação, vamos usar a separação de variáveis, um método clássico nessa área. Podemos reescrever a equação de forma que possamos separar as variáveis e .

Passo 2

A equação pode ser reescrita para isolar :
Agora, para separar as variáveis, queremos ter todos os de um lado e todos os do outro. Para isso, podemos mover para o lado esquerdo:
Aqui, a gente dividiu ambos os lados pela função exponencial , permitindo que a variável fique sozinha no lado esquerdo da equação. Agora, precisamos integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo fica assim:
onde é a constante de integração. Agora, a integral do lado direito é:
onde é outra constante de integração. Assim, depois de integrar, temos:
Aqui, é a constante que obtemos ao combinar e . Agora vamos isolar para facilitar a resolução.

Passo 4

Vamos multiplicar toda a equação por :
Em seguida, vamos inverter a expressão para isolar :
Se agora multiplicarmos por , temos:
E aqui está a nossa solução geral da equação diferencial que encontramos!

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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