Resolva a equação diferencial dada d zd t+e^t+z=0

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que resolver a equação diferencial dzdt + e^t+z = 0. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais, que é uma forma de estudar como uma quantidade muda em relação a outra. Para resolver essa equação, vamos usar a separação de variáveis, um método clássico nessa área. Podemos reescrever a equação de forma que possamos separar as variáveis z e t.

Passo 2

A equação pode ser reescrita para isolar dzdt:
dzdt = -e^t+z
Agora, para separar as variáveis, queremos ter todos os z de um lado e todos os t do outro. Para isso, podemos mover e^t+z para o lado esquerdo:
dze^z = -e^t dt
Aqui, a gente dividiu ambos os lados pela função exponencial e^z, permitindo que a variável z fique sozinha no lado esquerdo da equação. Agora, precisamos integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo fica assim:
integral dze^z = integral e^-z dz = -e^-z + C1,
onde C1 é a constante de integração. Agora, a integral do lado direito é:
integral -e^t dt = -e^t + C2,
onde C2 é outra constante de integração. Assim, depois de integrar, temos:
-e^-z = -e^t + C
Aqui, C é a constante que obtemos ao combinar C1 e C2. Agora vamos isolar e^-z para facilitar a resolução.

Passo 4

Vamos multiplicar toda a equação por -1:
e^-z = e^t - C
Em seguida, vamos inverter a expressão para isolar z:
-z = ln(e^t - C)
Se agora multiplicarmos por -1, temos:
z = -ln(e^t - C)
E aqui está a nossa solução geral da equação diferencial que encontramos!

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial dzdt + e^t+z = 0 é:
z = -ln(e^t - C),
onde C é a constante de integração.

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