Resolva a equação diferencial dada
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que resolver a equação diferencial
. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais, que é uma forma de estudar como uma quantidade muda em relação a outra. Para resolver essa equação, vamos usar a separação de variáveis, um método clássico nessa área. Podemos reescrever a equação de forma que possamos separar as variáveis
e
.
Passo 2
A equação pode ser reescrita para isolar
:
Agora, para separar as variáveis, queremos ter todos os
de um lado e todos os
do outro. Para isso, podemos mover
para o lado esquerdo:
Aqui, a gente dividiu ambos os lados pela função exponencial
, permitindo que a variável
fique sozinha no lado esquerdo da equação. Agora, precisamos integrar ambos os lados.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo fica assim:
onde
é a constante de integração. Agora, a integral do lado direito é:
onde
é outra constante de integração. Assim, depois de integrar, temos:
Aqui,
é a constante que obtemos ao combinar
e
. Agora vamos isolar
para facilitar a resolução.
Passo 4
Vamos multiplicar toda a equação por
:
Em seguida, vamos inverter a expressão para isolar
:
Se agora multiplicarmos por
, temos:
E aqui está a nossa solução geral da equação diferencial que encontramos!
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial
é:
onde
é a constante de integração.