Determine a energia utilizada para deslocar uma carga de entre os pontos e , em coordenadas cartesianas, sabendo-se da existência de um campo elétrico produzido por uma superfície infinita de carga, localizada no plano , e que possui uma densidade superficial de carga de .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a energia usada para mover uma carga de do ponto para o ponto em um campo elétrico. Esse campo é gerado por uma superfície infinita carregada localizada no plano com uma densidade superficial de carga de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico de superfícies infinitas e energia potencial elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como é o campo elétrico criado por uma superfície infinita de carga. Para uma superfície infinita com densidade superficial de carga , o campo elétrico é dado por:
Aqui, . Substituindo os valores, temos:
O campo elétrico resultante é constante e direcionado perpendicularmente à superfície carregada. Como a superfície está no plano , o campo elétrico aponta ao longo do eixo .

Passo 3

Agora, precisamos determinar a diferença de potencial elétrico entre os pontos e . Sabemos que a energia elétrica usada para mover uma carga em um campo elétrico é dada por:
Onde é a diferença de potencial entre os pontos final e inicial. Para encontrar , observamos que o campo elétrico é constante e direcionado ao longo do eixo . Portanto, a diferença de potencial depende apenas da diferença nas coordenadas dos pontos e .
Ponto tem coordenada e ponto tem coordenada . A diferença de potencial é então:
O sinal negativo indica que o potencial diminui ao mover-se de para .

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia utilizada para mover a carga. Sabemos que:
Usando a fórmula da energia:
O valor negativo indica que a energia é liberada no processo de mover a carga contra o campo elétrico.

Resposta

A energia utilizada para deslocar a carga é .

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