Sejam as funções abaixo:
f(x) = x^2, para x in [0, pi]
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as representações em séries de Fourier usando senos e cossenos para a função no intervalo . A gente vai usar conceitos de séries de Fourier, que são uma forma de representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular os coeficientes das séries de senos e de cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a série de Fourier em senos para no intervalo . A série de senos é usada quando a função é estendida de forma ímpar fora do intervalo. A fórmula geral para os coeficientes é:

Passo 3

Vamos calcular a integral para :
Para resolver essa integral, usamos integração por partes duas vezes. Primeiro, definimos e , então e .
Aplicando integração por partes:
Agora, aplicamos integração por partes novamente na integral restante, com e , obtendo:
Substituindo de volta:
Avaliaremos nos limites de 0 a . Note que e :
Simplificando:
Então, os coeficientes da série de Fourier em senos são:

Passo 4

Agora, vamos escrever a série de Fourier em senos para :

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a série de Fourier em cossenos para no intervalo . A série de cossenos é usada quando a função é estendida de forma par fora do intervalo. A fórmula geral para os coeficientes é:

Passo 6

Vamos calcular a integral para :
Usamos integração por partes duas vezes novamente. Primeiro, e , então e .
Aplicando integração por partes:
Agora, aplicamos integração por partes na integral restante, com e , obtendo:
Substituindo de volta:
Avaliaremos nos limites de 0 a . Note que e :
Então, os coeficientes da série de Fourier em cossenos são:

Resposta

I) A série de Fourier em senos para no intervalo é:
II) A série de Fourier em cossenos para no intervalo é:

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& l ut=ux x ; (x, t) in[0 pi] times(0, infty), ux(0, t)=0=ux(pi, t), t in[0, infty), u(x, 0)=f(x), x in[0, pi]
(a) Encontre uma solução estacionária para o problema
l ut=ux x+sen x, em (0, pi) times(0,+infty) u(0, t)=1, t >= 0 ux(pi, t)=2, t >= 0
isto é, encontre uma função v que independe de t e que seja solução do problema acima.