Encontre a solução geral e diga como relacionar essa solução com os modos naturais de vibração de uma corda, isto é, com a sobreposição de harmônicos que escutamos ao tocar uma corda fixa.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a solução geral para a vibração de uma corda fixa e relacionar essa solução com os modos naturais de vibração da corda, ou seja, com a sobreposição de harmônicos que percebemos ao tocar uma corda fixa. Para isso, vamos usar a equação da onda e explorar como as soluções dessa equação se conectam com os harmônicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação da onda para uma corda vibrante. Em uma dimensão, essa equação é dada por:
Onde:
  • é o deslocamento da corda no ponto e no tempo .
  • é a velocidade de propagação da onda na corda.

Passo 3

Como estamos lidando com uma corda fixa nas extremidades, precisamos considerar as condições de contorno. Para uma corda com comprimento fixa em ambas as extremidades ( e ), temos:
Isso significa que nos pontos e , o deslocamento da corda é sempre zero, independente do tempo.

Passo 4

Para resolver a equação da onda com essas condições, vamos procurar soluções que separam as variáveis e . Ou seja, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções separadas:
Substituindo na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por :
Como o lado esquerdo depende apenas de e o direito apenas de , ambos são iguais a uma constante, que chamaremos de :

Passo 5

Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
Para :
A solução geral dessa equação é:
Para :
A solução geral também é uma combinação de funções trigonométricas:

Passo 6

Aplicamos agora as condições de contorno para determinar os possíveis valores de .
Para :
Então:
Para :
Para que não tenhamos uma solução trivial (onde ), o seno deve ser zero:
Isso ocorre quando:
Onde é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …)
Portanto:

Passo 7

Com os valores de , podemos escrever a solução para cada modo de vibração. Cada valor de corresponde a um harmônico diferente. O primeiro harmônico ( ) é o modo fundamental, o segundo ( ) é o primeiro harmônico, e assim por diante. Cada harmônico tem uma frequência maior que o anterior, contribuindo para a riqueza do som produzido pela corda.

Resposta

A solução geral para a vibração de uma corda fixa é a soma das soluções de cada harmônico:
Essa expressão mostra que a vibração da corda é uma superposição de harmônicos. Cada termo no somatório representa um modo natural de vibração com uma frequência específica . Quando tocamos uma corda fixa, como de um violão ou piano, esses harmônicos se combinam, criando o timbre característico do som que ouvimos.

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Explique o que significa fisicamente os dois termos do lado direito da equação.
c) e , então .
O que são os harmônicos de uma corda vibrando?