Encontre a solução geral e diga como relacionar essa solução com os modos naturais de vibração de uma corda, isto é, com a sobreposição de harmônicos que escutamos ao tocar uma corda fixa.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a solução geral para a vibração de uma corda fixa e relacionar essa solução com os modos naturais de vibração da corda, ou seja, com a sobreposição de harmônicos que percebemos ao tocar uma corda fixa. Para isso, vamos usar a equação da onda e explorar como as soluções dessa equação se conectam com os harmônicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação da onda para uma corda vibrante. Em uma dimensão, essa equação é dada por:
Onde:
-
é o deslocamento da corda no ponto e no tempo . -
é a velocidade de propagação da onda na corda.
Passo 3
Como estamos lidando com uma corda fixa nas extremidades, precisamos considerar as condições de contorno. Para uma corda com comprimento
fixa em ambas as extremidades (
e
), temos:
Isso significa que nos pontos
e
, o deslocamento da corda é sempre zero, independente do tempo.
Passo 4
Para resolver a equação da onda com essas condições, vamos procurar soluções que separam as variáveis
e
. Ou seja, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções separadas:
Substituindo na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por
:
Como o lado esquerdo depende apenas de
e o direito apenas de
, ambos são iguais a uma constante, que chamaremos de
:
Passo 5
Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
Para
:
A solução geral dessa equação é:
Para
:
A solução geral também é uma combinação de funções trigonométricas:
Passo 6
Aplicamos agora as condições de contorno para determinar os possíveis valores de
.
Para
:
Então:
Para
:
Para que não tenhamos uma solução trivial (onde
), o seno deve ser zero:
Isso ocorre quando:
Onde
é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …)
Portanto:
Passo 7
Com os valores de
, podemos escrever a solução para cada modo de vibração. Cada valor de
corresponde a um harmônico diferente. O primeiro harmônico (
) é o modo fundamental, o segundo (
) é o primeiro harmônico, e assim por diante. Cada harmônico tem uma frequência maior que o anterior, contribuindo para a riqueza do som produzido pela corda.
Resposta
A solução geral para a vibração de uma corda fixa é a soma das soluções de cada harmônico:
Essa expressão mostra que a vibração da corda é uma superposição de harmônicos. Cada termo no somatório representa um modo natural de vibração com uma frequência específica
. Quando tocamos uma corda fixa, como de um violão ou piano, esses harmônicos se combinam, criando o timbre característico do som que ouvimos.
Exercícios relacionados
Explique o que significa fisicamente os dois termos do lado direito da equação.
c)
e
, então
.
O que são os harmônicos de uma corda vibrando?