Encontre a solução geral da equação diferencial (x2 + y)dx + (x - 2y)dy = 0, e assinale a alternativa correta:
Alternativa 1:F(x,y) =x3/3 +xy + C
Alternativa 2:F(x,y) = x3/3 - y2 + C
Alternativa 3:F(x,y) = 2xy - y2 +C
Alternativa 4:F(x,y) = x3/3 +xy - y2 + C
Alternativa 5:F(x,y) = x²/2 + y³ + C

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação (x^2 + y)dx + (x - 2y)dy = 0 e escolher a alternativa correta entre as opções dadas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais exatas, que é quando a equação pode ser escrita na forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 onde existem funções que derivadas parciais satisfazem certas condições. Vamos seguir os passos para encontrar a função F(x, y) que resolve a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M(x, y) e N(x, y) na equação:
M(x, y) = x^2 + y
N(x, y) = x - 2y
Para a equação ser exata, a derivada parcial de M em relação a y deve ser igual à derivada parcial de N em relação a x. Vamos calcular essas derivadas:
partial Mpartial y = partialpartial y(x^2 + y) = 1
partial Npartial x = partialpartial x(x - 2y) = 1
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata. Isso significa que existe uma função F(x, y) tal que:
dF = M dx + N dy = 0

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função F(x, y). Sabemos que:
partial Fpartial x = M = x^2 + y
Para encontrar F(x, y), vamos integrar M com relação a x:
F(x, y) = integral (x^2 + y) dx = x^33 + yx + h(y)
Aqui, h(y) é uma função de y que aparece porque ao integrar em relação a x, podemos ter uma constante que depende de y.

Passo 4

Para determinar h(y), vamos usar a outra condição da função F, que é:
partial Fpartial y = N = x - 2y
Calculamos a derivada de F(x, y) em relação a y:
partial Fpartial y = x + h'(y)
Igualando às duas expressões para partial Fpartial y:
x + h'(y) = x - 2y implies h'(y) = -2y
Integrando h'(y) com respeito a y:
h(y) = integral -2y , dy = -y^2 + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos h(y) de volta na expressão de F(x, y):
F(x, y) = x^33 + xy - y^2 + C
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral é F(x, y) = x^33 + xy - y^2 + C, que corresponde à Alternativa 4.

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