Encontre a solução geral da equação diferencial (x2 + y)dx + (x - 2y)dy = 0, e assinale a alternativa correta:
Alternativa 1:F(x,y) =x3/3 +xy + C
Alternativa 2:F(x,y) = x3/3 - y2 + C
Alternativa 3:F(x,y) = 2xy - y2 +C
Alternativa 4:F(x,y) = x3/3 +xy - y2 + C
Alternativa 5:F(x,y) = x²/2 + y³ + C
Alternativa 1:F(x,y) =x3/3 +xy + C
Alternativa 2:F(x,y) = x3/3 - y2 + C
Alternativa 3:F(x,y) = 2xy - y2 +C
Alternativa 4:F(x,y) = x3/3 +xy - y2 + C
Alternativa 5:F(x,y) = x²/2 + y³ + C
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação
e escolher a alternativa correta entre as opções dadas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais exatas, que é quando a equação pode ser escrita na forma
onde existem funções que derivadas parciais satisfazem certas condições. Vamos seguir os passos para encontrar a função
que resolve a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Para a equação ser exata, a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função
. Sabemos que:
Para encontrar
, vamos integrar
com relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece porque ao integrar em relação a
, podemos ter uma constante que depende de
.
Passo 4
Para determinar
, vamos usar a outra condição da função
, que é:
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Igualando às duas expressões para
:
Integrando
com respeito a
:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral é
, que corresponde à Alternativa 4.