Encontre a solução geral da equação diferencial exata (2xy+1)+(x²+4y)y’=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você trouxe: (2xy + 1) + (x^2 + 4y)y' = 0. A matéria aqui é Equações Diferenciais, especificamente as equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais claro:
(2xy + 1) , dx + (x^2 + 4y) , dy = 0
Aqui, identificamos que:
M(x, y) = 2xy + 1 e N(x, y) = x^2 + 4y

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2x e partial Npartial x = 2x
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M(x, y) = 2xy + 1
Integrando M em relação a x:
F(x, y) = integral (2xy + 1) , dx = x^2 y + x + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 5

Para encontrar g(y), vamos derivar F(x, y) em relação a y e igualar a N(x, y):
partial Fpartial y = x^2 + g'(y) = x^2 + 4y
Comparando os termos:
g'(y) = 4y implies g(y) = 2y^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo g(y) de volta em F(x, y):
F(x, y) = x^2 y + x + 2y^2 + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x^2 y + x + 2y^2 = C
Onde C é uma constante arbitrária.

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