Encontre a solução geral da equação diferencial exata (2xy+1)+(x²+4y)y’=0
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você trouxe:
. A matéria aqui é Equações Diferenciais, especificamente as equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais claro:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Para encontrar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Comparando os termos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
de volta em
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.