Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais:
d^2 yd x^2+2 d yd x-y=0

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem:
d^2 yd x^2 + 2 d yd x - y = 0
Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem como essa, a gente transforma a equação em uma equação característica. Isso é feito substituindo por , onde é uma constante que precisamos encontrar.
Vamos assumir que , então:
  • A primeira derivada é
  • A segunda derivada é

Passo 3

Agora, substituímos essas derivadas na equação original:
r^2 e^rx + 2 r e^rx - e^rx = 0
Podemos fatorar e^rx (r^2 + 2r - 1) = 0 (que nunca é zero):
r^2 + 2r - 1 = 0
Como , precisamos resolver:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática r = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1)2 cdot 1 r = -2 pm raiz4 + 42 r = -2 pm raiz82 r = -2 pm 2raiz22 r = -1 pm raiz2
Aqui, , e . Substituindo:

Passo 5

Agora que temos as raízes y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x e , que são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz.
Isso significa que:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^(-1 + raiz2)x + C2 e^(-1 - raiz2)x

Exercícios relacionados