Resolva as equações diferenciais, com as condições iniciais
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E também temos duas condições iniciais:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas e a solução geral delas.
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é um número que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituímos
d^2d x^2 (e^r x) - 4 e^r x = 0 na equação diferencial:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Fatoramos
e^r x (r^2 - 4) = 0 (que nunca é zero):
Então, temos a equação característica:
Passo 5
Resolvemos a equação característica para encontrar
r^2 = 4 Rightarrow r = pm 2 :
Então, os valores de
são 2 e -2.
Passo 6
Com os valores de
y(x) = C1 e^2 x + C2 e^-2 x , escrevemos a solução geral da equação diferencial:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 7
Usamos a primeira condição inicial
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 2 :
Então, temos:
Passo 8
Agora, calculamos a derivada de
d yd x = 2 C1 e^2 x - 2 C2 e^-2 x :
Usamos a segunda condição inicial
C1 - C2 = 2 (Equação 2) :
Simplificando:
Passo 9
Agora, temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
2 + C2 = 2 Rightarrow C2 = 0 na Equação 1:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: