Resolva as equações diferenciais, com as condições iniciais :

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E também temos duas condições iniciais:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas e a solução geral delas.

Passo 2

Vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é um número que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituímos na equação diferencial:
Calculando as derivadas:

Passo 4

Fatoramos (que nunca é zero):
Então, temos a equação característica:

Passo 5

Resolvemos a equação característica para encontrar :
Então, os valores de são 2 e -2.

Passo 6

Com os valores de , escrevemos a solução geral da equação diferencial:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Usamos a primeira condição inicial :
Então, temos:
çã

Passo 8

Agora, calculamos a derivada de :
Usamos a segunda condição inicial :
Simplificando:
çã

Passo 9

Agora, temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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Escreva o nome ou a fórmula dos seguintes complexos:
m)
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Resolva as equações diferenciais, com as condições iniciais :
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