Resolva as equações diferenciais, com as condições iniciais
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E também temos duas condições iniciais:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas e a solução geral delas.
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é um número que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituímos
na equação diferencial:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Fatoramos
(que nunca é zero):
Então, temos a equação característica:
Passo 5
Resolvemos a equação característica para encontrar
:
Então, os valores de
são 2 e -2.
Passo 6
Com os valores de
, escrevemos a solução geral da equação diferencial:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 7
Usamos a primeira condição inicial
:
Então, temos:
Passo 8
Agora, calculamos a derivada de
:
Usamos a segunda condição inicial
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
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Escreva o nome ou a fórmula dos seguintes complexos:
m)
m)
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Resolva as equações diferenciais, com as condições iniciais
:
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais: