Resolva as equações diferenciais, com as condições iniciais (x=0) :
d^2 yd x^2-4 y=0 y(0)=2 ; d y(x=0)d x=4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
d^2 yd x^2 - 4 y = 0
E também temos duas condições iniciais:
y(0) = 2 e d yd xg|x=0 = 4
Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas e a solução geral delas.

Passo 2

Vamos resolver a equação diferencial homogênea:
d^2 yd x^2 - 4 y = 0
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é um número que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituímos d^2d x^2 (e^r x) - 4 e^r x = 0 na equação diferencial:
r^2 e^r x - 4 e^r x = 0
Calculando as derivadas:

Passo 4

Fatoramos e^r x (r^2 - 4) = 0 (que nunca é zero):
r^2 - 4 = 0
Então, temos a equação característica:

Passo 5

Resolvemos a equação característica para encontrar r^2 = 4 Rightarrow r = pm 2 :
Então, os valores de são 2 e -2.

Passo 6

Com os valores de y(x) = C1 e^2 x + C2 e^-2 x , escrevemos a solução geral da equação diferencial:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Usamos a primeira condição inicial y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 2 :
C1 + C2 = 2 (Equação 1)
Então, temos:
çã

Passo 8

Agora, calculamos a derivada de d yd x = 2 C1 e^2 x - 2 C2 e^-2 x :
2 C1 e^0 - 2 C2 e^0 = 2 C1 - 2 C2 = 4
Usamos a segunda condição inicial C1 - C2 = 2 (Equação 2) :
Simplificando:
çã

Passo 9

Agora, temos um sistema de duas equações:
C1 + C2 = 2 C1 - C2 = 2
Somando as duas equações:
2 C1 = 4 Rightarrow C1 = 2
Substituindo 2 + C2 = 2 Rightarrow C2 = 0 na Equação 1:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
y(x) = 2 e^2 x

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