Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
y'' - 4 y' + 20 y = 0, y(pi/2) = 0, y'(pi/2) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica que estamos procurando.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Para resolver isso, vamos encontrar a equação característica associada a essa equação diferencial.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo por , por e por 1. Então, temos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 4

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Como o discriminante ( ) é negativo, teremos raízes complexas. Então, podemos escrever:

Passo 5

Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos aplicar a primeira condição inicial: .
Substituindo na solução geral:
Simplificando:
Isso implica que .

Passo 7

Agora, com , a solução fica:
Vamos derivar essa expressão para aplicar a segunda condição inicial.

Passo 8

Calculando a derivada de :
Agora, aplicamos a segunda condição inicial: .
Substituindo:

Resposta

A solução particular que atende às condições iniciais dadas é:

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