[1 ponto] Explique intuitivamente o mecanismo que permite que uma série de Fourier convirja para uma função descontínua, apesar das somas parciais de uma série de Fourier serem infinitamente diferenciáveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para gente explicar de forma intuitiva como uma série de Fourier consegue se aproximar de uma função que tem saltos ou quebras (discontínua), mesmo que as somas parciais dessa série sejam super lisinhas e infinitamente diferenciáveis. Vamos precisar entender o que é uma série de Fourier e como ela se comporta quando a função tem descontinuidades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é uma série de Fourier. Basicamente, é uma maneira de representar uma função periódica como uma soma de senos e cossenos com diferentes frequências e amplitudes. Isso é super útil porque funções complexas podem ser decompostas em ondas mais simples.

Passo 3

Agora, mesmo que a função original tenha saltos ou quebras, as somas parciais da série de Fourier são formadas por senos e cossenos, que são funções bem suaves e infinitamente diferenciáveis. Isso faz parecer meio estranho, né? Como essas somas lisas conseguem “capturar” as descontinuidades da função original?

Passo 4

A mágica acontece porque, conforme adicionamos mais termos na série de Fourier, as ondas senoidais começam a se ajustarem melhor aos saltos da função. Elas tentam “saltar” junto com a função, criando oscilações perto dos pontos de descontinuidade. Essas oscilações são conhecidas como Fenômeno de Gibbs.

Passo 5

Apesar das somas parciais serem lisas, à medida que aumentamos o número de termos, a série consegue se aproximar cada vez mais da função original, inclusive nos pontos de descontinuidade. Claro que nesse processo, sempre vai ter aquelas oscilações perto dos saltos, mas no limite, a série de Fourier vai convergir para a função descontínua.

Resposta

Assim, mesmo que as somas parciais de uma série de Fourier sejam suavemente diferenciáveis, a adição de mais termos permite que a série convirja para uma função descontínua, ajustando-se aos saltos através de oscilações características do Fenômeno de Gibbs.

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