Provar que
converge usando os seguintes passos:
$(b) Mostrar que a sequência
converge a um valor
.
$(b) Mostrar que a sequência
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos mostrar que a sequência dos somatórios parciais, ou seja,
, converge para um valor
. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries alternadas e propriedades de convergência de sequências. Precisaremos entender como calcular os somatórios parciais e verificar se eles se aproximam de um limite conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um somatório parcial. Para a série
, o somatório parcial
é a soma dos primeiros
termos dessa série. Ou seja:
Isso significa que somamos termos alternadamente positivos e negativos, até o
-ésimo termo.
Passo 3
Vamos calcular alguns termos para entender o comportamento da sequência
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Observamos que os somatórios parciais estão aumentando, mas de forma decrescente à medida que
aumenta.
Passo 4
Para provar que a sequência
converge, vamos utilizar o teste da série alternada de Leibniz. Esse teste diz que uma série da forma
, onde
, converge se:
- Os termos
são decrescentes: para todo . -
.
No nosso caso,
, que claramente é decrescente e tende a zero conforme
aumenta. Portanto, a série converge.
Passo 5
Como a série
converge, sabemos que a sequência dos seus somatórios parciais também converge. Especificamente, a sequência
, que considera apenas os somatórios com um número par de termos, também tende a um limite
quando
tende ao infinito.
Resposta
A sequência
dos somatórios parciais da série
converge para um valor
.
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Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Provar que
diverge. (Dica: estimar o valor das somas parciais com
somandos)
[1 ponto] Explique intuitivamente o mecanismo que permite que uma série de Fourier convirja para uma função descontínua, apesar das somas parciais de uma série de Fourier serem infinitamente diferenciáveis.
Provar que
converge usando os seguintes passos:
$(a) Mostrar que se denota a soma parcial da série, temos
.
(Lembre que )
$(a) Mostrar que se
(Lembre que