Provar que sumk=1^infty(-1)^k+1 1k converge usando os seguintes passos:
$(b) Mostrar que a sequência (b) Mostrar que a sequência converge a um valor conver>= a um valor .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos mostrar que a sequência dos somatórios parciais, ou seja, s2nn=1^infty, converge para um valor s. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries alternadas e propriedades de convergência de sequências. Precisaremos entender como calcular os somatórios parciais e verificar se eles se aproximam de um limite conforme n aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um somatório parcial. Para a série sumk=1^infty (-1)^k+1 1k, o somatório parcial s2n é a soma dos primeiros 2n termos dessa série. Ou seja:
s2n = sumk=1^2n (-1)^k+1 1k
Isso significa que somamos termos alternadamente positivos e negativos, até o 2n-ésimo termo.

Passo 3

Vamos calcular alguns termos para entender o comportamento da sequência s2n:
  • Para n=1: s2 = 1 - 12 = 12
  • Para n=2: s4 = 1 - 12 + 13 - 14 = 12 + 112 = 712
  • Para n=3: s6 = 1 - 12 + 13 - 14 + 15 - 16 = 712 + 130 = 3760
Observamos que os somatórios parciais estão aumentando, mas de forma decrescente à medida que n aumenta.

Passo 4

Para provar que a sequência s2n converge, vamos utilizar o teste da série alternada de Leibniz. Esse teste diz que uma série da forma sumk=1^infty (-1)^k+1 ak, onde ak > 0, converge se:
  1. Os termos ak são decrescentes: ak+1 <= ak para todo k.
  2. limk to infty ak = 0.
No nosso caso, ak = 1k, que claramente é decrescente e tende a zero conforme k aumenta. Portanto, a série converge.

Passo 5

Como a série sumk=1^infty (-1)^k+1 1k converge, sabemos que a sequência dos seus somatórios parciais também converge. Especificamente, a sequência s2n, que considera apenas os somatórios com um número par de termos, também tende a um limite s quando n tende ao infinito.

Resposta

A sequência s2nn=1^infty dos somatórios parciais da série sumk=1^infty (-1)^k+1 1k converge para um valor s.

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(Lembre que (Lembre que )