Encontre as soluções homogênea e particular das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial que precisa resolver:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. A gente vai encontrar duas soluções: a solução homogênea (que resolve a equação associada sem o lado direito) e a solução particular (que resolve a equação completa). Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e como encontrar soluções gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução homogênea. Para isso, consideramos a equação associada:
Queremos resolver essa equação, que é mais simples porque o lado direito é zero.

Passo 3

Resolvendo , integramos uma vez:
Onde é uma constante de integração. Integrando de novo:
Aqui, é outra constante de integração. Então, a solução homogênea é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa:
A solução particular será a soma das soluções particulares para cada termo no lado direito. Ou seja, vamos encontrar , onde resolve e resolve .

Passo 5

Primeiro, encontramos para . Supomos que a solução particular tem a forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Isso não funciona, então precisamos tentar uma forma diferente. Vamos supor:
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso ainda não funciona porque temos um termo com no lado direito. Isso indica que nossa suposição inicial está errada. Na verdade, devemos tentar:
Derivando:
Agora, substituindo:
Ainda não está funcionando, então percebo que fiz um erro. Vamos reconsiderar. Na verdade, para um termo polinomial como , a solução particular deve incluir um polinômio de mesmo grau. Portanto, vamos tentar:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Isso mostra que precisamos ajustar nossa abordagem. Vamos separar os termos e trabalhar individualmente.

Passo 6

Vamos focar no termo . Queremos uma solução particular tal que:
Vamos integrar duas vezes para encontrar :
Primeira integração:
Segunda integração:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração. Assim:

Passo 7

Agora, vamos encontrar para o termo . Procuramos uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo:
Então, a solução particular é:

Passo 8

Agora, juntamos as soluções particulares encontradas:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Identifique as superfícies que possuem as dadas parametrizações a seguir e, em seguida, calcule os vetores tangentes às suas curvas coordenadas:
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
Encontre as soluções homogênea e particular das seguintes equações diferenciais: