Encontre as soluções homogênea e particular das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial que precisa resolver:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. A gente vai encontrar duas soluções: a solução homogênea (que resolve a equação associada sem o lado direito) e a solução particular (que resolve a equação completa). Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e como encontrar soluções gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução homogênea. Para isso, consideramos a equação associada:
Queremos resolver essa equação, que é mais simples porque o lado direito é zero.
Passo 3
Resolvendo
, integramos uma vez:
Onde
é uma constante de integração. Integrando de novo:
Aqui,
é outra constante de integração. Então, a solução homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa:
A solução particular será a soma das soluções particulares para cada termo no lado direito. Ou seja, vamos encontrar
, onde
resolve
e
resolve
.
Passo 5
Primeiro, encontramos
para
. Supomos que a solução particular tem a forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Isso não funciona, então precisamos tentar uma forma diferente. Vamos supor:
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso ainda não funciona porque temos um termo com
no lado direito. Isso indica que nossa suposição inicial está errada. Na verdade, devemos tentar:
Derivando:
Agora, substituindo:
Ainda não está funcionando, então percebo que fiz um erro. Vamos reconsiderar. Na verdade, para um termo polinomial como
, a solução particular deve incluir um polinômio de mesmo grau. Portanto, vamos tentar:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Isso mostra que precisamos ajustar nossa abordagem. Vamos separar os termos e trabalhar individualmente.
Passo 6
Vamos focar no termo
. Queremos uma solução particular
tal que:
Vamos integrar duas vezes para encontrar
:
Primeira integração:
Primeira integração:
Segunda integração:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração. Assim:
Passo 7
Agora, vamos encontrar
para o termo
. Procuramos uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo:
Então, a solução particular é:
Passo 8
Agora, juntamos as soluções particulares encontradas:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Encontre as soluções homogênea e particular das seguintes equações diferenciais: