Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência que é
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (isto é, se ela chega a um número específico quando
fica bem grande) ou diverge (não chega a nenhum valor específico). Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas e os polinômios se comportam quando
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador:
. Sabemos que o cosseno e o seno de qualquer número estão sempre entre -1 e 1. Então,
vai estar entre -2 e 2, e
vai estar entre 0 e 1. Isso significa que o numerador está sempre limitado, ou seja, ele não cresce à medida que
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador:
. Conforme
fica cada vez maior,
cresce bem rápido, muito mais do que o 1. Então, o denominador vai crescer sem parar conforme
aumenta.
Passo 4
Quando temos uma fração onde o numerador é limitado (não cresce) e o denominador cresce para o infinito, o valor da fração todo tende a zero. Então, independentemente dos valores oscilantes de
, a divisão por um número cada vez maior faz com que a fração fique cada vez menor.
Resposta
Portanto, a sequência converge e o seu limite é 0.