Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência que é . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (isto é, se ela chega a um número específico quando fica bem grande) ou diverge (não chega a nenhum valor específico). Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas e os polinômios se comportam quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador: . Sabemos que o cosseno e o seno de qualquer número estão sempre entre -1 e 1. Então, vai estar entre -2 e 2, e vai estar entre 0 e 1. Isso significa que o numerador está sempre limitado, ou seja, ele não cresce à medida que aumenta.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: . Conforme fica cada vez maior, cresce bem rápido, muito mais do que o 1. Então, o denominador vai crescer sem parar conforme aumenta.

Passo 4

Quando temos uma fração onde o numerador é limitado (não cresce) e o denominador cresce para o infinito, o valor da fração todo tende a zero. Então, independentemente dos valores oscilantes de , a divisão por um número cada vez maior faz com que a fração fique cada vez menor.

Resposta

Portanto, a sequência converge e o seu limite é 0.

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