Identifique as superfícies que possuem as dadas parametrizações a seguir e, em seguida, calcule os vetores tangentes às suas curvas coordenadas:
& (1.1) X(u, v)=(u, v, v^2-u^2) ;(u, v) in R^2 & (1.2) X(u, v)=(2 sen v cos u, 2 sen v sen u, 2 cos v) ;(u, v) in[0,2 pi] times[0, pi] & (1.3) X(u, theta)=(u, cos theta, sen theta) ;(u, theta) in R times[0,2 pi] & (1.4) X(u, v)=(u, v,-4-u+v) ;(u, v) in R^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para identificar as superfícies correspondentes às quatro parametrizações dadas e, depois, calcular os vetores tangentes às curvas coordenadas de cada uma delas. Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria analítica e cálculo vetorial, especificamente sobre parametrizações de superfícies e vetores tangentes.

Passo 2

Parametrização (1.1): partial Xpartial u = (1, 0, -2u)
Primeiro, vamos identificar a superfície. Aqui, temos partial Xpartial v = (0, 1, 2v) . Essa equação representa um paraboloide hiperbólico, que é uma superfície de segunda ordem com curvas de seção paralelas a um eixo sendo parábolas e as outras sendo hipérbolas.
Agora, para calcular os vetores tangentes às curvas coordenadas, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
  • Vetor Tangente em :
  • Vetor Tangente em :

Passo 3

Parametrização (1.2): x = 2 sin v cos u, y = 2 sin v sin u, z = 2 cos v
Vamos identificar a superfície. Observando as componentes, temos:
partial Xpartial u = (-2 sin v sin u, 2 sin v cos u, 0)
Isso se assemelha às coordenadas esféricas, onde partial Xpartial v = (2 cos v cos u, 2 cos v sin u, -2 sin v) . Portanto, a superfície é uma esfera de raio 2 centrada na origem.
Agora, calculamos os vetores tangentes:
  • Vetor Tangente em :
  • Vetor Tangente em :

Passo 4

Parametrização (1.3): partial Xpartial u = (1, 0, 0)
Identificando a superfície, temos partial Xpartial theta = (0, -sin theta, cos theta) e , o que implica . Isso descreve um cilindro circular com raio 1, estendido ao longo do eixo .
Calculando os vetores tangentes:
  • Vetor Tangente em :
  • Vetor Tangente em :

Passo 5

Parametrização (1.4): partial Xpartial u = (1, 0, -1)
Vamos identificar a superfície. A equação partial Xpartial v = (0, 1, 1) representa um plano no espaço tridimensional.
Calculando os vetores tangentes:
  • Vetor Tangente em :
  • Vetor Tangente em :

Resposta

Resumindo:
  1. Parametrização (1.1): Paraboloide hiperbólico.
    Vetores Tangentes: e .
  2. Parametrização (1.2): Esfera de raio 2.
    Vetores Tangentes: e .
  3. Parametrização (1.3): Cilindro circular de raio 1.
    Vetores Tangentes: e .
  4. Parametrização (1.4): Plano.
    Vetores Tangentes: e .

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