Encontre soluções particulares envolvendo integrais indefinidas não-elementares:
y^prime prime-y=x^-2 e^x. Resposta: yp=12 e^x(1-x^-1)-12 e^-x integral x^-2 e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo que envolve uma integral indefinida não-elementar. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de soluções particulares, como o método dos coeficientes a determinar ou a variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . A solução geral dessa equação homogênea é baseada nas raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é yh = C1 e^x + C2 e^-x , que tem raízes e . Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo não homogêneo é e já aparece na solução homogênea, vamos usar o método dos coeficientes a determinar com um ajuste.

Passo 5

Assumimos uma forma para yp = e^x (A + B x^-1) semelhante ao termo não homogêneo, mas multiplicada por uma função adicional para evitar duplicidade com a solução homogênea:
onde e são funções a serem determinadas.

Passo 6

Calculamos as derivadas de yp' = e^x (A + B x^-1) + e^x ( B' x^-1 - B x^-2 ) :
yp'' = e^x (A + B x^-1) + 2 e^x ( B' x^-1 - B x^-2 ) + e^x ( B'' x^-1 - 2 B' x^-2 + 2 B x^-3 )

Passo 7

Substituímos A = 12 e B = -12 , e na equação diferencial e igualamos os termos correspondentes para resolver para e . Após simplificar, obtemos:

Passo 8

Portanto, a solução particular é:
yp = 12 e^x (1 - x^-1) - 12 e^-x integral x^-2 e^2x dx

Resposta

A solução particular é:
yp = 12 e^x(1 - x^-1) - 12 e^-x integral x^-2 e^2 x , dx

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