Fatore o polinômio dado.
b) x^4 - 3x^3 + x^2 + 3x - 2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente fatorar o polinômio . Vamos usar técnicas de fatoração de polinômios, especialmente o Teorema do Racional, que vai ajudar a encontrar possíveis raízes racionais para decompor o polinômio em fatores mais simples.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o Teorema do Racional. Esse teorema diz que as possíveis raízes racionais de um polinômio estão entre os divisores do termo constante e os divisores do coeficiente da maior potência de . No nosso caso, o termo constante é -2 e o coeficiente líder é 1. Então, as possíveis raízes são:

Passo 3

Agora, vamos testar essas possíveis raízes substituindo no polinômio para ver se resultam em zero.
Testando :
Como o resultado foi zero, isso significa que é uma raiz. Portanto, é um fator do polinômio.

Passo 4

Com essa raiz encontrada, vamos dividir o polinômio original por para encontrar o quociente. Podemos usar a divisão sintética ou a divisão polinomial. Fazendo isso, obtemos:

Passo 5

Agora, vamos focar no polinômio cúbico . Vamos aplicar novamente o Teorema do Racional para encontrar possíveis raízes. As possíveis raízes continuam sendo .
Testando :
Novamente, é uma raiz, então é mais um fator.

Passo 6

Dividindo o polinômio cúbico por , temos:

Passo 7

Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e +1. Então, fatorando:

Passo 8

Agora, juntamos todos os fatores que encontramos:

Resposta

A fatoração do polinômio é .

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