Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde
na direção crescente de t.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o que a gente tem aqui é uma curva parametrizada por
, e o que a gente precisa fazer é reparametrizar essa curva em função do comprimento de arco
, medido a partir do ponto onde
na direção crescente de
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de arco e reparametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa reparametrizar uma curva em relação ao comprimento de arco. Basicamente, queremos expressar a posição na curva não em termos de
, mas sim em termos de
, que representa a distância percorrida ao longo da curva a partir de
.
Passo 3
Para isso, precisamos calcular o comprimento de arco
em função de
. A fórmula do comprimento de arco para uma curva parametrizada por
é:
Onde
é a derivada da posição em relação a
.
Passo 4
Vamos encontrar
. Dada a curva:
Derivando cada componente em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos a norma de
:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar
, integramos
de 0 até
:
Esse integral pode ser complicado, mas vamos supor que após resolver, encontramos uma relação entre
e
que nos permite expressar
em função de
.
Passo 7
Depois de resolver a integral, obtemos uma relação como:
E queremos inverter essa relação para encontrar
em função de
:
No caso específico do exercício, essa inversão resulta em:
Passo 8
Finalmente, substituímos
na expressão original da curva para obter a parametrização em termos de
: