Encontre a soma das séries abaixo, se possível.
(d)
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar a soma da série infinita:
Esse problema pertence ao conteúdo de Séries Infinitas em Matemática, mais especificamente envolvendo séries telescópicas. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão da série para identificar se há uma simplificação que nos permita calcular a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Para simplificar essa expressão, podemos racionalizar o denominador. Racionalizar significa eliminar as raízes do denominador multiplicando o numerador e o denominador por um termo conveniente. No nosso caso, multiplicamos por
:
Passo 3
Agora, calculamos o denominador:
Portanto, a expressão simplificada fica:
Passo 4
Substituindo de volta na série original, temos:
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos sucessivos.
Passo 5
Vamos escrever os primeiros termos da série para visualizar o cancelamento:
Observamos que
do primeiro termo cancela com
do segundo termo,
do segundo cancela com
do terceiro, e assim por diante.
Passo 6
Depois do cancelamento, restam apenas os termos da primeira parte do primeiro termo e a segunda parte do último termo, que tende a infinito:
Sabemos que
tende ao infinito à medida que
cresce.
Passo 7
Portanto, ao somarmos toda a série, temos:
Isso significa que a soma da série não converge para um número finito.
Resposta
A série
diverge, ou seja, sua soma tende ao infinito negativo.
Exercícios relacionados
Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(b)
(b)
Resolva os PVI:
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