Encontre a soma das séries abaixo, se possível.
(d) sumn=1^infty -1raizn+1+raizn

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar a soma da série infinita:
sumn=1^infty -1raizn+1+raizn
Esse problema pertence ao conteúdo de Séries Infinitas em Matemática, mais especificamente envolvendo séries telescópicas. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão da série para identificar se há uma simplificação que nos permita calcular a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
-1raizn+1+raizn
Para simplificar essa expressão, podemos racionalizar o denominador. Racionalizar significa eliminar as raízes do denominador multiplicando o numerador e o denominador por um termo conveniente. No nosso caso, multiplicamos por -1raizn+1+raizn times raizn+1-raiznraizn+1-raizn = -(raizn+1-raizn)(raizn+1)^2 - (raizn)^2 :

Passo 3

Agora, calculamos o denominador:
(raizn+1)^2 - (raizn)^2 = (n+1) - n = 1
Portanto, a expressão simplificada fica:
-(raizn+1-raizn)1 = raizn - raizn+1

Passo 4

Substituindo de volta na série original, temos:
sumn=1^infty (raizn - raizn+1)
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos sucessivos.

Passo 5

Vamos escrever os primeiros termos da série para visualizar o cancelamento:
(raiz1 - raiz2) + (raiz2 - raiz3) + (raiz3 - raiz4) + dots
Observamos que do primeiro termo cancela com do segundo termo, do segundo cancela com do terceiro, e assim por diante.

Passo 6

Depois do cancelamento, restam apenas os termos da primeira parte do primeiro termo e a segunda parte do último termo, que tende a infinito:
raiz1 - raizn+1 quando n infty
Sabemos que tende ao infinito à medida que cresce.

Passo 7

Portanto, ao somarmos toda a série, temos:
limn to infty (raiz1 - raizn+1) = 1 - infty = -infty
Isso significa que a soma da série não converge para um número finito.

Resposta

A série diverge, ou seja, sua soma tende ao infinito negativo.

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