Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente das Equações Exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que a satisfaça.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro:
Aqui, temos
e
. Para verificar se é uma equação exata, vamos calcular as derivadas parciais:
Percebemos que
, o que confirma que a equação é exata.
Passo 3
Agora que sabemos que é exata, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Para isso, integramos
em relação a
:
A integral
pode ser resolvida fazendo uma substituição simples. Vamos considerar
, então
, e a integral fica:
Então, a função potencial é:
Passo 4
Como a equação é exata, a função potencial
é constante. Portanto, temos:
Onde
é uma constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(b)
(b)
Determine
da função
Encontre a soma das séries abaixo, se possível.
(d)
(d)