(1 + x e^(x y)) dy/dx + 1 + y e^(x y) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente das Equações Exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que a satisfaça.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro:
Aqui, temos e . Para verificar se é uma equação exata, vamos calcular as derivadas parciais:
Percebemos que , o que confirma que a equação é exata.

Passo 3

Agora que sabemos que é exata, vamos encontrar a função potencial tal que:
Para isso, integramos em relação a :
A integral pode ser resolvida fazendo uma substituição simples. Vamos considerar , então , e a integral fica:
Então, a função potencial é:

Passo 4

Como a equação é exata, a função potencial é constante. Portanto, temos:
Onde é uma constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(b) sumn=1^infty 2^n(n+1n^2)^n
Determine partial zpartial s da função z=e^y cos theta, y=s t, theta=raizs^2+t^2
Encontre a soma das séries abaixo, se possível.
(d) sumn=1^infty -1raizn+1+raizn
f'(t) = df/dt = tg(t) * sec(t)