Encontre todas as funções
tais que o campo vetorial
é conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar todas as funções
que fazem com que o campo vetorial
seja conservativo. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e derivadas parciais. Vamos precisar usar a condição para um campo vetorial ser conservativo, que relaciona as derivadas parciais das componentes
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Basicamente, isso quer dizer que existe uma função potencial
tal que
Ou seja,
e
.
Passo 3
Para que o campo seja conservativo, as derivadas mistas da função potencial devem ser iguais. Isso resulta na condição:
No nosso caso,
. Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, igualamos
a
:
Isso nos dá uma equação parcial para
.
Passo 5
Para encontrar
, vamos integrar a equação em relação a
:
Integrando termo a termo:
onde
é uma função qualquer de
que surge da integração.
Passo 6
Como não temos mais informações sobre
no enunciado, a função
pode ser qualquer função de
. Portanto, todas as funções
que tornam
conservativo são:
onde
é uma função arbitrária de
.
Resposta
Todas as funções
que tornam o campo vetorial conservativo são dadas por
onde
é uma função arbitrária de
.
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Escreva usando a notaçāo científica:
(a) 100.000 .000
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Escreva usando a notaçāo científica:
(e)
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(b)
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