Encontre todas as funções tais que o campo vetorial
é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar todas as funções que fazem com que o campo vetorial
seja conservativo. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e derivadas parciais. Vamos precisar usar a condição para um campo vetorial ser conservativo, que relaciona as derivadas parciais das componentes e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Basicamente, isso quer dizer que existe uma função potencial tal que
Ou seja, e .

Passo 3

Para que o campo seja conservativo, as derivadas mistas da função potencial devem ser iguais. Isso resulta na condição:
No nosso caso, . Vamos calcular :

Passo 4

Agora, igualamos a :
Isso nos dá uma equação parcial para .

Passo 5

Para encontrar , vamos integrar a equação em relação a :
Integrando termo a termo:
onde é uma função qualquer de que surge da integração.

Passo 6

Como não temos mais informações sobre no enunciado, a função pode ser qualquer função de . Portanto, todas as funções que tornam conservativo são:
onde é uma função arbitrária de .

Resposta

Todas as funções que tornam o campo vetorial conservativo são dadas por
onde é uma função arbitrária de .

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Escreva usando a notaçāo científica:
(a) 100.000 .000
Escreva usando a notaçāo científica:
(e)
Escreva usando a notaçāo científica:
(b)
Escreva usando a notaçāo científica:
(d)