Encontre todos os inteiros n tais que (2n - 1) / (n + 7) é um inteiro.

Passo 1

Vamos analisar o problema. Precisamos encontrar todos os inteiros tais que a expressão seja um número inteiro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra envolvendo frações e divisibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que é um número inteiro, ou seja, existe um inteiro tal que:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para . Expanda o lado direito:
Agora, vamos reunir os termos que contêm :
Fatorando :
Isolando :

Passo 4

Queremos que seja um número inteiro, então a fração deve ser inteira. Para isso, o denominador deve dividir o numerador sem deixar resto. Vamos encontrar os valores inteiros de que satisfazem essa condição.

Passo 5

Vamos analisar os possíveis valores de , onde é um divisor de 15 (pois ). Os divisores de 15 são:

Passo 6

Para cada divisor , calculamos :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Resposta

Os inteiros que satisfazem a condição são , , , , , , e .

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