Encontre todos os inteiros
tais que
é um inteiro.
Passo 1
Vamos analisar o problema. Precisamos encontrar todos os inteiros
tais que a expressão
seja um número inteiro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra envolvendo frações e divisibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que
é um número inteiro, ou seja, existe um inteiro
tal que:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para
. Expanda o lado direito:
Agora, vamos reunir os termos que contêm
:
Fatorando
:
Isolando
:
Passo 4
Queremos que
seja um número inteiro, então a fração
deve ser inteira. Para isso, o denominador
deve dividir o numerador
sem deixar resto. Vamos encontrar os valores inteiros de
que satisfazem essa condição.
Passo 5
Vamos analisar os possíveis valores de
, onde
é um divisor de 15 (pois
). Os divisores de 15 são:
Passo 6
Para cada divisor
, calculamos
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Resposta
Os inteiros
que satisfazem a condição são
,
,
,
,
,
,
e
.
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Mostre que o produto de
inteiros consecutivos é divisível por
!.