Mostre que o produto de
inteiros consecutivos é divisível por
!.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o produto de
inteiros consecutivos é divisível por
. Isso envolve conceitos de números inteiros, produtos e fatorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa números consecutivos e o que é o fatorial de um número.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que são números inteiros consecutivos. São números que seguem um após o outro sem pular nenhum. Por exemplo, se começarmos com 3, os números consecutivos seriam 3, 4, 5, etc. Se temos
desses números, podemos representá-los como
, onde
é um inteiro qualquer.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o fatorial de um número, que é representado por
. O fatorial de
é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até
. Ou seja,
.
Passo 4
Queremos mostrar que o produto dos
números consecutivos
é divisível por
. Isso significa que esse produto deve conter todos os fatores presentes em
.
Passo 5
Por exemplo, se
, temos três números consecutivos
. O produto deles é
. O fatorial
. Dentro do produto de três números consecutivos, sempre haverá pelo menos um número múltiplo de 2 e um múltiplo de 3, garantindo que o produto seja divisível por 6.
Passo 6
De forma geral, em qualquer sequência de
números consecutivos, haverá pelo menos um múltiplo de cada número de 1 até
. Isso ocorre porque os números consecutivos cobrem um intervalo que inclui múltiplos de todos os números menores ou iguais a
.
Passo 7
Portanto, o produto dos
inteiros consecutivos sempre terá todos os fatores necessários para ser divisível por
, já que
é o produto de todos esses fatores.
Resposta
Assim, mostramos que o produto de
inteiros consecutivos é divisível por
.
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