Mostre que o produto de inteiros consecutivos é divisível por !.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o produto de inteiros consecutivos é divisível por . Isso envolve conceitos de números inteiros, produtos e fatorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa números consecutivos e o que é o fatorial de um número.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que são números inteiros consecutivos. São números que seguem um após o outro sem pular nenhum. Por exemplo, se começarmos com 3, os números consecutivos seriam 3, 4, 5, etc. Se temos desses números, podemos representá-los como , onde é um inteiro qualquer.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o fatorial de um número, que é representado por . O fatorial de é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até . Ou seja, .

Passo 4

Queremos mostrar que o produto dos números consecutivos é divisível por . Isso significa que esse produto deve conter todos os fatores presentes em .

Passo 5

Por exemplo, se , temos três números consecutivos . O produto deles é . O fatorial . Dentro do produto de três números consecutivos, sempre haverá pelo menos um número múltiplo de 2 e um múltiplo de 3, garantindo que o produto seja divisível por 6.

Passo 6

De forma geral, em qualquer sequência de números consecutivos, haverá pelo menos um múltiplo de cada número de 1 até . Isso ocorre porque os números consecutivos cobrem um intervalo que inclui múltiplos de todos os números menores ou iguais a .

Passo 7

Portanto, o produto dos inteiros consecutivos sempre terá todos os fatores necessários para ser divisível por , já que é o produto de todos esses fatores.

Resposta

Assim, mostramos que o produto de inteiros consecutivos é divisível por .

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