Encontre todos os números reais que satisfazem a desigualdade:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa desigualdade: . Aqui, estamos lidando com uma desigualdade envolvendo módulo. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com expressões dentro de valores absolutos e manipular frações algébricas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que significa que a expressão dentro do módulo está entre -4 e 4. Ou seja:
Isso transforma nossa desigualdade de módulo em duas desigualdades simples que podemos resolver simultaneamente.
Passo 3
Vamos resolver a primeira parte: . Para eliminar o denominador, precisamos ter cuidado com o sinal de . Primeiro, vamos considerar que , ou seja, . Multiplicando ambos os lados por (positivo), temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda parte: . Novamente, considerando (), multiplicamos ambos os lados por :
Simplificando:
Passo 5
Agora, combinando as duas soluções obtidas nos passos anteriores:
Da primeira parte:
Da segunda parte:
Como , a solução mais restritiva é .
Passo 6
Também precisamos considerar se há valores de que tornam o denominador zero, pois a expressão não está definida nesses pontos. Resolvendo :
Portanto, .
Resposta
Todos os números reais que satisfazem a desigualdade são aqueles maiores que 2. Em notação matemática: