Encontre todos os números reais que satisfazem a desigualdade:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa desigualdade: . Aqui, estamos lidando com uma desigualdade envolvendo módulo. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com expressões dentro de valores absolutos e manipular frações algébricas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que significa que a expressão dentro do módulo está entre -4 e 4. Ou seja:
Isso transforma nossa desigualdade de módulo em duas desigualdades simples que podemos resolver simultaneamente.

Passo 3

Vamos resolver a primeira parte: . Para eliminar o denominador, precisamos ter cuidado com o sinal de . Primeiro, vamos considerar que , ou seja, . Multiplicando ambos os lados por (positivo), temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda parte: . Novamente, considerando ( ), multiplicamos ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 5

Agora, combinando as duas soluções obtidas nos passos anteriores:
  • Da primeira parte:
  • Da segunda parte:
Como , a solução mais restritiva é .

Passo 6

Também precisamos considerar se há valores de que tornam o denominador zero, pois a expressão não está definida nesses pontos. Resolvendo :
Portanto, .

Resposta

Todos os números reais que satisfazem a desigualdade são aqueles maiores que 2. Em notação matemática:

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\lim _{x \rightarrow 2} \frac{d}{d x}\left(\frac{\sin {2}\left(\frac{1}{x}+e{\left.x^{2} \sqrt[5]{x^{3}-1}\right)}-\sin \left(e{\sqrt{x}}\right)\right.}{1+\frac{x+1}{\frac{x{3}}{2+x{4}}}}\right){\ln \left(\frac{x{x{3}}+x{\sqrt{x}}}{e{\cos x}}\right)}
]
4
x+3 \geqslant-7+3
$
\leq \frac{-4}{-3}
$