Encontre a transformada de Fourier das funções a seguir:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Fourier da função
. Isso envolve conhecimentos de álgebra para manipular a função e entender como aplicar a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para analisar funções no domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o expoente da função para facilitar a aplicação da Transformada de Fourier. Observe que no expoente temos um polinômio quadrático
. Para simplificar, vamos completar o quadrado nessa expressão.
Passo 3
Completar o quadrado significa reescrever
na forma
. Calculando:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, temos
. A Transformada de Fourier de uma função da forma
é conhecida e podemos usar essa propriedade para facilitar o cálculo. A Transformada de Fourier de
é
, e se a função for deslocada, aplicamos a propriedade de modulação.
Passo 5
Aplicando a Transformada de Fourier na nossa função:
Usando a propriedade de deslocamento:
Passo 6
Multiplicando tudo, temos:
Podemos escrever isso de forma mais organizada:
Resposta
A Transformada de Fourier da função
é:
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