Encontre a transformada de Fourier das funções a seguir: f(x) = e^(- (x^2 + 2x - 4)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Fourier da função . Isso envolve conhecimentos de álgebra para manipular a função e entender como aplicar a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para analisar funções no domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o expoente da função para facilitar a aplicação da Transformada de Fourier. Observe que no expoente temos um polinômio quadrático . Para simplificar, vamos completar o quadrado nessa expressão.

Passo 3

Completar o quadrado significa reescrever na forma . Calculando:
Então, a função fica:

Passo 4

Agora, temos . A Transformada de Fourier de uma função da forma é conhecida e podemos usar essa propriedade para facilitar o cálculo. A Transformada de Fourier de é , e se a função for deslocada, aplicamos a propriedade de modulação.

Passo 5

Aplicando a Transformada de Fourier na nossa função:
Usando a propriedade de deslocamento:

Passo 6

Multiplicando tudo, temos:
Podemos escrever isso de forma mais organizada:

Resposta

A Transformada de Fourier da função é:

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