Escreva uma tabela de transformadas de Fourier e transformadas de Fourier inversas para algumas funções e propriedades básicas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever uma tabela com as transformadas de Fourier e suas inversas para algumas funções e propriedades básicas. Vamos trabalhar com o conteúdo de Transformadas de Fourier, que são ferramentas matemáticas usadas para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as fórmulas das transformadas diretas e inversas de Fourier e algumas funções padrão que têm transformadas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier direta. Ela transforma uma função no tempo, , em uma função na frequência, , usando a seguinte fórmula:
Aqui, é a frequência angular e é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, a Transformada de Fourier inversa faz o caminho inverso: transforma de volta para . A fórmula é:
Essa fórmula é essencial para recuperar a função original a partir de sua transformada na frequência.
Passo 4
Vamos listar algumas funções básicas e suas transformadas de Fourier. Isso vai formar a nossa tabela. Vamos considerar funções como o impulso unitário, sinais senoidais, funções exponenciais e a função retangular.
Passo 5
Começando com o impulso unitário, . A transformada de Fourier é bem simples:
E a transformada inversa é:
Isso significa que o impulso no tempo se transforma em uma constante na frequência.
Passo 6
Agora, vamos para uma função exponencial complexa, . Sua transformada de Fourier é:
E a inversa:
Isso mostra que uma exponencial no tempo se transforma em um impulso na frequência.
Passo 7
Para uma função retangular, que vale 1 no intervalo e zero fora, a transformada de Fourier é:
Onde . E a transformada inversa é:
Isso indica que uma função retangular no tempo se transforma em uma função sinc na frequência.
Passo 8
Por último, vamos considerar uma função seno, . Sua transformada de Fourier é:
E a inversa:
Isso mostra que uma senoide no tempo se transforma em dois impulsos na frequência.
Resposta
A tabela das transformadas de Fourier e suas inversas para algumas funções e propriedades básicas é:
Função no Tempo
Transformada de Fourier
Transformada Inversa
Essa tabela resume algumas das transformadas de Fourier e suas inversas para funções comuns e propriedades básicas.