Considere o problema de difusão do calor com as temperaturas iguais a zero nas extremidades:
Utilize o método de separação de variáveis para resolver este problema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o problema de difusão de calor numa barra com comprimento . As temperaturas nas extremidades da barra são fixas em zero (ou seja, ), e a distribuição de temperatura inicial é dada por . Nosso objetivo é resolver essa equação usando o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais parciais transformando-as em equações mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação de difusão de calor dada:
partial upartial t = partial^2 upartial x^2
Essa equação descreve como a temperatura u(t, x) = T(t)X(x) muda ao longo do tempo e do espaço . O método de separação de variáveis assume que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Passo 3
Vamos substituir dTdtX = T d^2Xdx^2 na equação de difusão:
1T dTdt = 1X d^2Xdx^2 = -lambda
Dividindo ambos os lados por dTdt + lambda T = 0 , obtemos:
d^2Xdx^2 + lambda X = 0
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
Para :
Para :
Passo 4
Vamos resolver a equação para d^2Xdx^2 + lambda X = 0 primeiro:
Xn(x) = sin(n pi xL), lambdan = (n piL)^2
Com as condições de contorno . As soluções não triviais existem apenas para certos valores de , que são os valores próprios. A solução geral é:
onde é um número inteiro positivo.
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para dTdt + lambdan T = 0 :
Tn(t) = e^-lambdan t = e^-(n piL)^2 t
A solução dessa equação diferencial é:
Passo 6
Combinando u(t, x) = sumn=1^infty Bn e^-(n piL)^2 t sin(n pi xL) e , a solução geral da equação de difusão é uma soma infinita de modos:
Onde são os coeficientes que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 7
Vamos aplicar a condição inicial sin(sin(3 pi x)L) = sumn=1^infty Bn sin(n pi xL) :
Bn = 2L integral0^L sin(sin(3 pi x)L) sin(n pi xL) dx
Para encontrar os coeficientes , usamos a ortogonalidade das funções seno. Multiplicamos ambos os lados por e integramos de 0 a :
Passo 8
Essas integrais para podem ser complexas e, geralmente, são calculadas numericamente ou usando séries de Fourier especiais. Mas, para fins de ilustrar, podemos considerar que somente termos específicos de contribuem significativamente, dependendo da forma da função inicial.
Resposta
A solução do problema de difusão de calor, usando o método de separação de variáveis, é dada por:
u(t, x) = sumn=1^infty Bn e^-(n piL)^2 t sin(n pi xL)
Onde os coeficientes Bn = 2L integral0^L sin(sin(3 pi x)L) sin(n pi xL) dx são determinados pela condição inicial através da integração: