Encontre o valor de lim x +infty ln raizxraizx+1
lll (B) 0 & (C) 1 & (D) 12
© 1
D) 12
(E) -1

Passo 1

Então, temos o seguinte problema:
Queremos encontrar o valor do limite quando limx +infty ln raizxraizx+1 tende ao infinito da expressão:
Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de limites, funções logarítmicas e propriedades de funções radiciais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que ln raizx = ln x^1/2 = 12 ln x . Então:

Passo 3

Agora, substituímos essa simplificação de volta na expressão original:
limx +infty 12 ln xraizx+1
Podemos tirar o fator 12 limx +infty ln xraizx+1 da fração:

Passo 4

Observamos que, conforme tende ao infinito, tanto quanto tendem ao infinito. Portanto, temos uma forma indeterminada , onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital para resolver o limite.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a 12 limx +infty 1x12raizx+1 = 12 limx +infty 2raizx+1x = limx +infty raizx+1x :
Derivada de :
Derivada de :
Então, o limite passa a ser:

Passo 6

Simplificamos a expressão:
raizx+1x = raizx(1 + 1x)x = raizx raiz1 + 1xx = raiz1 + 1xraizx
À medida que limx +infty raiz1 + 1xraizx = limx +infty 1raizx = 0 tende ao infinito, tende a 0, então tende a 1. Portanto:

Resposta

O valor do limite é 0.

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