Encontre o(s) valor(es) de x que satisfaz(em) à equação log₂ (x-3)+log₂ (x-2)=1
O a.x=4
O b.x=1ex=4
O c. x=2 ex = 3
O d. n. d. a.
O e.x=3
O a.x=4
O b.x=1ex=4
O c. x=2 ex = 3
O d. n. d. a.
O e.x=3
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação: $ \log_2 (x-3) + \log_2 (x-2) = 1 $. A matéria envolvida aqui é Logaritmos, e vamos usar as propriedades dos logaritmos e um pouco de álgebra para encontrar o valor de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos logaritmos: $ \log_b A + \log_b B = \log_b (A \times B) $. Isso significa que podemos juntar os dois logaritmos em um só. Aplicando isso na nossa equação:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, para resolver uma equação logarítmica, podemos reescrevê-la na forma exponencial. Sabemos que $ \log_b A = C $ é equivalente a $ A = b^C $. Aplicando isso aqui:
Ou seja:
Passo 4
Vamos expandir o lado esquerdo da equação:
Somando tudo:
Passo 5
Agora, vamos trazer o 2 para o lado esquerdo para deixar a equação igualada a zero:
Passo 6
Temos uma equação quadrática: $ x^2 - 5x + 4 = 0 $. Para resolver, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -5 $, e $ c = 4 $. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Passo 7
Mas nem todas as soluções podem ser válidas! Precisamos verificar se elas satisfazem as condições dos logaritmos:
- Para $ \log_2(x-3) $, $ x - 3 > 0 $ → $ x > 3 $
- Para $ \log_2(x-2) $, $ x - 2 > 0 $ → $ x > 2 $
Então, $ x = 1 $ não é válido porque não satisfaz $ x > 3 $. Apenas $ x = 4 $ é uma solução válida.
Resposta
A solução da equação é $ x = 4 $. Portanto, a opção correta é a a. x = 4.