Encontre o(s) valor(es) de x que satisfaz(em) à equação log₂ (x-3)+log₂ (x-2)=1
O a.x=4
O b.x=1ex=4
O c. x=2 ex = 3
O d. n. d. a.
O e.x=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação: $ \log_2 (x-3) + \log_2 (x-2) = 1 $. A matéria envolvida aqui é Logaritmos, e vamos usar as propriedades dos logaritmos e um pouco de álgebra para encontrar o valor de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos logaritmos: $ \log_b A + \log_b B = \log_b (A \times B) $. Isso significa que podemos juntar os dois logaritmos em um só. Aplicando isso na nossa equação:
logb A + logb B = logb (A times B)
Então, a equação fica:
log2 (x-3) + log2 (x-2) = log2 ( (x-3)(x-2) )

Passo 3

Agora, para resolver uma equação logarítmica, podemos reescrevê-la na forma exponencial. Sabemos que $ \log_b A = C $ é equivalente a $ A = b^C $. Aplicando isso aqui:
logb A = C
Ou seja:
A = b^C

Passo 4

Vamos expandir o lado esquerdo da equação:
x times x = x^2
x times (-2) = -2x
-3 times x = -3x
-3 times (-2) = 6
Somando tudo:
x^2 - 5x + 6 = 2

Passo 5

Agora, vamos trazer o 2 para o lado esquerdo para deixar a equação igualada a zero:
x^2 - 5x + 6 - 2 = 0
x^2 - 5x + 4 = 0

Passo 6

Temos uma equação quadrática: $ x^2 - 5x + 4 = 0 $. Para resolver, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
x^2 - 5x + 4 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -5 $, e $ c = 4 $. Substituindo:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a = 1
Então, temos duas soluções:
b = -5
c = 4

Passo 7

Mas nem todas as soluções podem ser válidas! Precisamos verificar se elas satisfazem as condições dos logaritmos:
  • Para $ \log_2(x-3) $, $ x - 3 > 0 $ → $ x > 3 $
  • Para $ \log_2(x-2) $, $ x - 2 > 0 $ → $ x > 2 $
Então, $ x = 1 $ não é válido porque não satisfaz $ x > 3 $. Apenas $ x = 4 $ é uma solução válida.

Resposta

A solução da equação é $ x = 4 $. Portanto, a opção correta é a a. x = 4.

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