Um vetor é resultado da soma dos vetores → u = ( x , − 3 ) e → v = ( − 1 , x ) . Sabendo que seu módulo é igual a √ 2 , o valor de xé:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores: u = (x, -3) e v = (-1, x). A soma desses vetores resulta em um novo vetor cujo módulo (ou tamanho) é igual a √2. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de x que satisfaz essa condição. Para resolver isso, vamos precisar saber como somar vetores e calcular o módulo de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos somar os vetores u e v. Quando somamos dois vetores, a gente soma as componentes correspondentes de cada vetor. Então:
u + v = (x + (-1), -3 + x) = (x - 1, x - 3)
Passo 3
Agora, precisamos calcular o módulo desse vetor resultante. O módulo de um vetor a = (a₁, a₂) é dado pela fórmula:
Aplicando isso ao nosso vetor (x - 1, x - 3):
Passo 4
Sabemos que o módulo desse vetor é igual a √2. Então, podemos montar a equação:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Vamos expandir os termos ao quadrado:
Somando esses resultados:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 7
Essa é uma equação quadrática que pode ser fatorada:
Isso significa que a única solução é:
Resposta
O valor de x que satisfaz a condição é 2.