Um vetor é resultado da soma dos vetores → u = ( x , − 3 ) e → v = ( − 1 , x ) . Sabendo que seu módulo é igual a √ 2 , o valor de xé:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores: u = (x, -3) e v = (-1, x). A soma desses vetores resulta em um novo vetor cujo módulo (ou tamanho) é igual a √2. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de x que satisfaz essa condição. Para resolver isso, vamos precisar saber como somar vetores e calcular o módulo de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos somar os vetores u e v. Quando somamos dois vetores, a gente soma as componentes correspondentes de cada vetor. Então:
u + v = (x + (-1), -3 + x) = (x - 1, x - 3)

Passo 3

Agora, precisamos calcular o módulo desse vetor resultante. O módulo de um vetor a = (a₁, a₂) é dado pela fórmula:
| a | = raiza1^2 + a2^2
Aplicando isso ao nosso vetor (x - 1, x - 3):
| u + v | = raiz(x - 1)^2 + (x - 3)^2

Passo 4

Sabemos que o módulo desse vetor é igual a √2. Então, podemos montar a equação:
raiz(x - 1)^2 + (x - 3)^2 = raiz2
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 1)^2 + (x - 3)^2 = 2

Passo 5

Vamos expandir os termos ao quadrado:
(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1
(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9
Somando esses resultados:
x^2 - 2x + 1 + x^2 - 6x + 9 = 2
2x^2 - 8x + 10 = 2

Passo 6

Vamos reorganizar a equação:
2x^2 - 8x + 10 - 2 = 0
2x^2 - 8x + 8 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
x^2 - 4x + 4 = 0

Passo 7

Essa é uma equação quadrática que pode ser fatorada:
(x - 2)^2 = 0
Isso significa que a única solução é:
x - 2 = 0 Rightarrow x = 2

Resposta

O valor de x que satisfaz a condição é 2.

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