Encontre os valores máximo e mínimo absolutos, se existirem, de
nos intervalos indicados e indique onde eles ocorrem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no intervalo de
a
. Isso envolve entender um pouco de cálculo, especialmente derivadas, para identificar onde a função atinge esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são valores máximo e mínimo absolutos. O valor máximo absoluto de uma função em um intervalo é o maior valor que a função alcança nesse intervalo, e o mínimo absoluto é o menor valor. Para encontrar esses pontos, a gente precisa olhar para os pontos críticos da função e também para os extremos do intervalo.
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, vamos precisar calcular a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
A derivada de
em relação a
é:
Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são os candidatos a serem máximos ou mínimos.
Isso acontece quando:
Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.
Passo 5
Primeiro, resolvendo
:
Sabemos que
quando
dentro do intervalo
.
Passo 6
Agora, resolvendo
:
Sabemos que
quando
, onde
é um inteiro.
Então,
Mas como
está entre -1 e 1, precisamos ver para quais valores de
isso é possível.
Para
:
Para
:
Portanto, não há soluções para
no intervalo considerado.
Passo 7
Agora, temos os pontos críticos em
. Vamos avaliar a função nesses pontos e também nos extremos do intervalo para encontrar os valores máximo e mínimo.
Vamos calcular
para cada
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 8
Comparando os valores obtidos:
- O valor máximo absoluto é aproximadamente
, que ocorre em e . - O valor mínimo absoluto é aproximadamente
, que ocorre em .
Resposta
Os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo
são aproximadamente
em
e
, e
em
, respectivamente.
Exercícios relacionados
Determine o maior subconjunto de
para o qual as seguintes fun,
oes s ao cont
.
Se
e
forem cont
“Sem a matemática, não poderia haver astronomia; sem os recursos maravilhosos da astronomia, seria completamente impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade.” (Amoroso Costa)
Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique:
, sendo