Encontre os valores máximo e mínimo absolutos, se existirem, de nos intervalos indicados e indique onde eles ocorrem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função no intervalo de a . Isso envolve entender um pouco de cálculo, especialmente derivadas, para identificar onde a função atinge esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são valores máximo e mínimo absolutos. O valor máximo absoluto de uma função em um intervalo é o maior valor que a função alcança nesse intervalo, e o mínimo absoluto é o menor valor. Para encontrar esses pontos, a gente precisa olhar para os pontos críticos da função e também para os extremos do intervalo.

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, vamos precisar calcular a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
A derivada de em relação a é:
Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são os candidatos a serem máximos ou mínimos.
Isso acontece quando:
Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.

Passo 5

Primeiro, resolvendo :
Sabemos que quando dentro do intervalo .

Passo 6

Agora, resolvendo :
Sabemos que quando , onde é um inteiro.
Então,
Mas como está entre -1 e 1, precisamos ver para quais valores de isso é possível.
Para :
ãéíá
Para :
éãéí
Portanto, não há soluções para no intervalo considerado.

Passo 7

Agora, temos os pontos críticos em . Vamos avaliar a função nesses pontos e também nos extremos do intervalo para encontrar os valores máximo e mínimo.
Vamos calcular para cada :
  1. Em :
  1. Em :
  1. Em :

Passo 8

Comparando os valores obtidos:
  • O valor máximo absoluto é aproximadamente , que ocorre em e .
  • O valor mínimo absoluto é aproximadamente , que ocorre em .

Resposta

Os valores máximo e mínimo absolutos de no intervalo são aproximadamente em e , e em , respectivamente.

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“Sem a matemática, não poderia haver astronomia; sem os recursos maravilhosos da astronomia, seria completamente impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade.” (Amoroso Costa)
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