Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique: lim x 1 f(x)-f(1)x-1, sendo f(x)=l2 x, se x<1 x+3, se x >= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um ponto onde a função f(x) = 2x, & se x < 1 x + 3, & se x >= 1 é contínua e justificar isso usando o limite . A função dada é uma função em partes:
Vamos trabalhar com o conceito de continuidade de funções e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, vamos verificar se a função é contínua em .

Passo 3

Primeiro, calculamos f(1) = 1 + 3 = 4 . Olhando para a definição da função, para :
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).

Passo 4

Limite pela esquerda ( limx to 1^- f(x) = limx to 1^- 2x = 2 times 1 = 2 ):
Para limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (x + 3) = 1 + 3 = 4 , . Então:
Limite pela direita ( ):
Para , . Então:

Passo 5

Agora, analisamos os limites:
  • O limite pela esquerda é 2.
  • O limite pela direita é 4.
  • .
Para a função ser contínua em , os limites pelas duas direções devem ser iguais e iguais a . Aqui, temos que o limite pela esquerda (2) é diferente do limite pela direita (4). Portanto, a função não é contínua em .

Passo 6

Então, vamos procurar outro ponto onde a função possa ser contínua. Observe que para e , as expressões são lineares (2x e x + 3), que são funções contínuas em todos os seus domínios. Assim, em qualquer ponto diferente de , a função será contínua.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos diferentes de 1. Por exemplo, em , a função é contínua porque e os limites à esquerda e à direita também são 0.

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