Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique: , sendo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um ponto onde a função é contínua e justificar isso usando o limite . A função dada é uma função em partes:
Vamos trabalhar com o conceito de continuidade de funções e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, vamos verificar se a função é contínua em .

Passo 3

Primeiro, calculamos . Olhando para a definição da função, para :
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).

Passo 4

Limite pela esquerda ( ):
Para , . Então:
Limite pela direita ( ):
Para , . Então:

Passo 5

Agora, analisamos os limites:
  • O limite pela esquerda é 2.
  • O limite pela direita é 4.
  • .
Para a função ser contínua em , os limites pelas duas direções devem ser iguais e iguais a . Aqui, temos que o limite pela esquerda (2) é diferente do limite pela direita (4). Portanto, a função não é contínua em .

Passo 6

Então, vamos procurar outro ponto onde a função possa ser contínua. Observe que para e , as expressões são lineares (2x e x + 3), que são funções contínuas em todos os seus domínios. Assim, em qualquer ponto diferente de , a função será contínua.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos diferentes de 1. Por exemplo, em , a função é contínua porque e os limites à esquerda e à direita também são 0.

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Encontre os valores máximo e mínimo absolutos, se existirem, de nos intervalos indicados e indique onde eles ocorrem:
Especifique o dominio da funçāo: , sendo
Calcule o limite, caso exista. Se nāo existir, justifique: