Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique:
, sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um ponto onde a função
é contínua e justificar isso usando o limite
. A função dada é uma função em partes:
Vamos trabalhar com o conceito de continuidade de funções e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Então, vamos verificar se a função
é contínua em
.
Passo 3
Primeiro, calculamos
. Olhando para a definição da função, para
:
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
) e pela direita (
).
Passo 4
Limite pela esquerda (
):
Para
,
. Então:
Limite pela direita (
):
Para
,
. Então:
Passo 5
Agora, analisamos os limites:
- O limite pela esquerda é 2.
- O limite pela direita é 4.
-
.
Para a função ser contínua em
, os limites pelas duas direções devem ser iguais e iguais a
. Aqui, temos que o limite pela esquerda (2) é diferente do limite pela direita (4). Portanto, a função não é contínua em
.
Passo 6
Então, vamos procurar outro ponto onde a função possa ser contínua. Observe que para
e
, as expressões são lineares (2x e x + 3), que são funções contínuas em todos os seus domínios. Assim, em qualquer ponto diferente de
, a função será contínua.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos
diferentes de 1. Por exemplo, em
, a função é contínua porque
e os limites à esquerda e à direita também são 0.
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Encontre os valores máximo e mínimo absolutos, se existirem, de
nos intervalos indicados e indique onde eles ocorrem:
Especifique o dominio da funçāo:
, sendo
Calcule o limite, caso exista. Se nāo existir, justifique: