Encontre as velocidades, funções horárias e alcance para um projétil viajando em duas dimensões x e y e que está sujeito a uma força peso, sem considerar em que v=v0 (ângulo phi ), em t=0. Expandir a função velocidade e função horária em série de potência até o terceiro termo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as velocidades, as funções horárias e o alcance de um projétil que está se movendo em duas dimensões (x e y) e que só sofre a força da gravidade, ou seja, sem resistência do ar. A gente vai considerar que o projétil parte com uma velocidade inicial v0 formando um ângulo phi com o eixo horizontal, e que no instante inicial ( t = 0). Além disso, a gente precisa expandir as funções de velocidade e posição em série de potência até o terceiro termo. Para isso, vamos precisar usar as equações de movimento para projéteis e um pouquinho de cálculo para fazer as expansões em série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como se comporta a velocidade de um projétil. A velocidade inicial v0 pode ser decomposta nas componentes horizontal ( v0x) e vertical ( v0y):
v0x = v0 cos(phi)
v0y = v0 sin(phi)
Essas componentes são importantes porque na direção x a velocidade permanece constante (sem aceleração), e na direção y a velocidade muda por causa da gravidade.

Passo 3

Agora, vamos às funções horárias, ou seja, as posições em função do tempo nas direções x e y. Sabemos que:
Para o eixo x:
x(t) = v0x cdot t
Para o eixo y, levando em conta a aceleração da gravidade ( g):
y(t) = v0y cdot t - 12 g t^2
Essas equações nos dão a posição do projétil em qualquer instante de tempo.

Passo 4

Vamos agora encontrar as velocidades em função do tempo. A velocidade na direção x é constante:
vx(t) = v0x = v0 cos(phi)
Já na direção y, a velocidade varia com o tempo devido à gravidade:
vy(t) = v0y - g t = v0 sin(phi) - g t
Então, a velocidade total do projétil em qualquer instante é dada por:
v(t) = (v0 cos(phi)) i + (v0 sin(phi) - g t) j

Passo 5

Agora, vamos expandir as funções de velocidade e posição em série de potência até o terceiro termo. Para simplificar, vamos considerar pequenas variações de tempo onde essa aproximação é válida.
Para a função de velocidade na direção y:
vy(t) = v0 sin(phi) - g t
Essa função já é linear, então a expansão em série de potência até o terceiro termo é ela mesma.
Para a função de posição y(t):
y(t) = v0 sin(phi) cdot t - 12 g t^2
Também é uma função polinomial de segundo grau, então a expansão em série de potência até o terceiro termo é a própria função.

Passo 6

Finalmente, o alcance do projétil é a distância máxima que ele atinge na direção x antes de retornar ao solo. Para encontrar o alcance R, precisamos primeiro determinar o tempo total de voo.
O tempo de voo é quando y(t) = 0:
0 = v0 sin(phi) cdot t - 12 g t^2
Resolvendo para t:
t (v0 sin(phi) - 12 g t) = 0
Então, t = 0 (início) ou t = 2 v0 sin(phi)g
O tempo total de voo é t = 2 v0 sin(phi)g.
Agora, o alcance R:
R = x(t) = v0 cos(phi) cdot 2 v0 sin(phi)g = 2 v0^2 sin(phi) cos(phi)g
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica 2 sin(phi) cos(phi) = sin(2phi):
R = v0^2 sin(2phi)g

Resposta

As velocidades são vx(t) = v0 cos(phi) e vy(t) = v0 sin(phi) - g t. As funções horárias são x(t) = v0 cos(phi) cdot t e y(t) = v0 sin(phi) cdot t - 12 g t^2. O alcance do projétil é R = v0^2 sin(2phi)g. As funções de velocidade e posição já estão expandidas em série de potência até o terceiro termo.

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