Encontre as velocidades, funções horárias e alcance para um projétil viajando em duas dimensões x e y e que está sujeito a uma força peso, sem considerar em que
(ângulo
), em
. Expandir a função velocidade e função horária em série de potência até o terceiro termo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as velocidades, as funções horárias e o alcance de um projétil que está se movendo em duas dimensões (x e y) e que só sofre a força da gravidade, ou seja, sem resistência do ar. A gente vai considerar que o projétil parte com uma velocidade inicial
formando um ângulo
com o eixo horizontal, e que no instante inicial (
). Além disso, a gente precisa expandir as funções de velocidade e posição em série de potência até o terceiro termo. Para isso, vamos precisar usar as equações de movimento para projéteis e um pouquinho de cálculo para fazer as expansões em série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como se comporta a velocidade de um projétil. A velocidade inicial
pode ser decomposta nas componentes horizontal (
) e vertical (
):
Essas componentes são importantes porque na direção x a velocidade permanece constante (sem aceleração), e na direção y a velocidade muda por causa da gravidade.
Passo 3
Agora, vamos às funções horárias, ou seja, as posições em função do tempo nas direções x e y. Sabemos que:
Para o eixo x:
Para o eixo y, levando em conta a aceleração da gravidade (
):
Essas equações nos dão a posição do projétil em qualquer instante de tempo.
Passo 4
Vamos agora encontrar as velocidades em função do tempo. A velocidade na direção x é constante:
Já na direção y, a velocidade varia com o tempo devido à gravidade:
Então, a velocidade total do projétil em qualquer instante é dada por:
Passo 5
Agora, vamos expandir as funções de velocidade e posição em série de potência até o terceiro termo. Para simplificar, vamos considerar pequenas variações de tempo onde essa aproximação é válida.
Para a função de velocidade na direção y:
Essa função já é linear, então a expansão em série de potência até o terceiro termo é ela mesma.
Para a função de posição y(t):
Também é uma função polinomial de segundo grau, então a expansão em série de potência até o terceiro termo é a própria função.
Passo 6
Finalmente, o alcance do projétil é a distância máxima que ele atinge na direção x antes de retornar ao solo. Para encontrar o alcance
, precisamos primeiro determinar o tempo total de voo.
O tempo de voo é quando
:
Resolvendo para
:
Então,
(início) ou
O tempo total de voo é
.
Agora, o alcance
:
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica
:
Resposta
As velocidades são
e
. As funções horárias são
e
. O alcance do projétil é
. As funções de velocidade e posição já estão expandidas em série de potência até o terceiro termo.